En el campo matemático del análisis funcional , el teorema de Eberlein-Šmulian (llamado así por William Frederick Eberlein y Witold Lwowitsch Schmulian ) es un resultado que relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach .
Declaración
Teorema de Eberlein-Šmulian : [1] Si X es un espacio de Banach y A es un subconjunto de X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- cada secuencia de elementos de A tiene una subsecuencia que es débilmente convergente en X
- cada secuencia de elementos de A tiene un punto de agrupamiento débil en X
- el cierre débil de A es débilmente compacto.
Un conjunto A puede ser débilmente compacto de tres formas diferentes:
- Compacidad secuencial : Cada secuencia de A tiene una subsecuencia convergente cuyo límite está en A .
- Compacidad límite de puntos : Cada subconjunto infinito de A tiene un punto límite en una .
- Compacidad (o compacidad Heine - Borel ): cada cubierta abierta de A admite una subcubierta finita.
El teorema de Eberlein-Šmulian establece que los tres son equivalentes en una topología débil de un espacio de Banach. Si bien esta equivalencia es cierta en general para un espacio métrico , la topología débil no es metrizable en espacios vectoriales de dimensión infinita, por lo que se necesita el teorema de Eberlein-Šmulian.
Aplicaciones
El teorema de Eberlein-Šmulian es importante en la teoría de las PDE , y particularmente en los espacios de Sobolev . Muchos espacios de Sobolev son espacios de Banach reflexivos y, por lo tanto, los subconjuntos delimitados son débilmente precompactos por el teorema de Alaoglu . Por lo tanto, el teorema implica que los subconjuntos limitados son débilmente secuencialmente precompactos y, por lo tanto, de cada secuencia limitada de elementos de ese espacio es posible extraer una subsecuencia que converge débilmente en el espacio. Dado que muchas PDE solo tienen soluciones en el sentido débil, este teorema es un paso importante para decidir qué espacios de soluciones débiles usar para resolver una PDE.
Ver también
Referencias
- ^ Conway 1990 , p. 163.
Bibliografía
- Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Diestel, Joseph (1984), Secuencias y series en espacios de Banach , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
- Dunford, N .; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
- Whitley, RJ (1967), "Una demostración elemental del teorema de Eberlein-Smulian", Mathematische Annalen , 172 (2): 116-118, doi : 10.1007 / BF01350091.