Jean-François Mertens (11 de marzo de 1946 - 17 de julio de 2012) fue un teórico de juegos y economista matemático belga. [1]
Jean-François Mertens | |
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Nació | Amberes, Bélgica | 11 de marzo de 1946
Fallecido | 17 de julio de 2012 [1] | (66 años)
Nacionalidad | Bélgica |
alma mater | Université Catholique de Louvain Docteur ès Sciences 1970 |
Premios | Miembro de la Econometric Society von Neumann Profesor de Game Theory Society |
Carrera científica | |
Campos | Teoría de juegos Economía matemática |
Asesor de doctorado | José Paris Jacques Neveu |
Influencias | Robert Aumann Reinhard Selten John Harsanyi John von Neumann |
Influenciado | Claude d'Aspremont Bernard De Meyer Amrita Dhillon Francoise Forges Jean Gabszewicz Srihari Govindan Abraham Neyman Anna Rubinchik Sylvain Sorin |
Mertens contribuyó a la teoría económica en lo que respecta a la cartera de pedidos de juegos de mercado, juegos cooperativos, juegos no cooperativos, juegos repetidos, modelos epistémicos de comportamiento estratégico y refinamientos del equilibrio de Nash (ver concepto de solución ). En la teoría de juegos cooperativos, contribuyó a los conceptos de solución llamados el núcleo y el valor de Shapley .
Con respecto a los juegos repetidos y los juegos estocásticos , los artículos de encuesta de Mertens 1982 [2] y 1986 [3] , y su encuesta de 1994 [4] en coautoría con Sylvain Sorin y Shmuel Zamir, son compendios de resultados sobre este tema, incluidas sus propias contribuciones. Mertens también hizo contribuciones a la teoría de la probabilidad [5] y publicó artículos sobre topología elemental. [6] [7]
Modelos epistémicos
Mertens y Zamir [8] [9] implementaron la propuesta de John Harsanyi de modelar juegos con información incompleta suponiendo que cada jugador se caracteriza por un tipo conocido de manera privada que describe sus estrategias y pagos factibles, así como una distribución de probabilidad sobre otros jugadores. tipos. Construyeron un espacio universal de tipos en el que, sujeto a condiciones de consistencia especificadas, cada tipo corresponde a la jerarquía infinita de sus creencias probabilísticas sobre las creencias probabilísticas de los demás. También demostraron que cualquier subespacio puede aproximarse arbitrariamente de cerca mediante un subespacio finito, que es la táctica habitual en las aplicaciones. [10]
Juegos repetidos con información incompleta
Aumann y Maschler fueron pioneros en los juegos repetidos con información incompleta. [11] [12] Dos de las contribuciones de Jean-François Mertens al campo son las extensiones de juegos repetidos de suma cero para dos personas con información incompleta en ambos lados para (1) el tipo de información disponible para los jugadores y (2) el estructura de señalización. [13]
- (1) Información: Mertens extendió la teoría del caso independiente donde la información privada de los jugadores es generada por variables aleatorias independientes, al caso dependiente donde se permite la correlación.
- (2) Estructuras de señalización: la teoría de señalización estándar en la que después de cada etapa ambos jugadores son informados de los movimientos anteriores jugados, se extendió para tratar la estructura de señalización general donde después de cada etapa cada jugador recibe una señal privada que puede depender de los movimientos y de el estado.
En esas configuraciones, Jean-François Mertens proporcionó una extensión de la caracterización del valor minmax y maxmin para el juego infinito en el caso dependiente con señales independientes del estado. [14] Además con Shmuel Zamir, [15] Jean-François Mertens mostró la existencia de un valor límite. Tal valor puede pensarse como el límite de los valores de El juegos de escenario, como va al infinito, o al límite de los valores de El -juegos con descuento, a medida que los agentes se vuelven más pacientes y .
Un componente básico del enfoque de Mertens y Zamir es la construcción de un operador, ahora simplemente denominado operador MZ en el campo en su honor. En tiempo continuo ( juegos diferenciales con información incompleta), el operador MZ se convierte en un operador infinitesimal en el núcleo de la teoría de tales juegos. [16] [17] [18] Solución única de un par de ecuaciones funcionales, Mertens y Zamir demostraron que el valor límite puede ser una función trascendental a diferencia de maxmin o minmax (valor en el caso de información completa). Mertens también encontró la tasa exacta de convergencia en el caso del juego con información incompleta en un lado y estructura de señalización general. [19] Un análisis detallado de la velocidad de convergencia del valor del juego de n etapas (repetido finitamente) hasta su límite tiene vínculos profundos con el teorema del límite central y la ley normal, así como con la variación máxima de las martingalas acotadas . [20] [21] Atacando el estudio del caso difícil de los juegos con señales dependientes del estado y sin estructura recursiva, Mertens y Zamir introdujeron nuevas herramientas en la introducción basadas en un juego auxiliar, reduciendo el conjunto de estrategias a un núcleo que es 'estadísticamente suficiente'. [22] [23]
En conjunto, las contribuciones de Jean-François Mertens con Zamir (y también con Sorin) proporcionan la base para una teoría general para los juegos repetidos de suma cero de dos personas que abarca aspectos de información estocástica e incompleta y donde se despliegan conceptos de amplia relevancia como, por ejemplo, reputación, límites en niveles racionales para las recompensas, pero también herramientas como dividir lema, señalización y accesibilidad. Si bien en muchos sentidos el trabajo de Mertens aquí se remonta a las raíces originales de von Neumann de la teoría de juegos con una configuración de dos personas de suma cero, la vitalidad y las innovaciones con una aplicación más amplia han sido omnipresentes.
Juegos estocásticos
Los juegos estocásticos fueron introducidos por Lloyd Shapley en 1953. [24] El primer artículo estudió el juego estocástico de suma cero para dos personas con un número finito de estados y acciones y demuestra la existencia de un valor y estrategias óptimas estacionarias. El estudio del caso no descontado evolucionó en las siguientes tres décadas, con soluciones de casos especiales por Blackwell y Ferguson en 1968 [25] y Kohlberg en 1974. La existencia de un valor no descontado en un sentido muy fuerte, tanto un valor uniforme como un valor medio límite, fue probado en 1981 por Jean-François Mertens y Abraham Neyman. [26] El estudio de la suma distinta de cero con un estado general y espacios de acción atrajo mucha atención, y Mertens y Parthasarathy [27] demostraron un resultado de existencia general bajo la condición de que las transiciones, en función del estado y las acciones , son norma continua en las acciones.
Juegos de mercado: mecanismo de precio límite
Mertens tuvo la idea de utilizar economías competitivas lineales como un libro de órdenes (comercio) para modelar órdenes limitadas y generalizar las subastas dobles a una configuración multivariante. [28] Los precios relativos aceptables de los jugadores se transmiten por sus preferencias lineales, el dinero puede ser uno de los bienes y está bien que los agentes tengan una utilidad marginal positiva para el dinero en este caso (¡después de que todos los agentes son realmente solo pedidos!). De hecho, este es el caso de la mayoría de los pedidos en la práctica. Más de un pedido (y el agente de pedidos correspondiente) puede provenir del mismo agente real. En equilibrio, el bien vendido debe haber estado a un precio relativo en comparación con el bien comprado no menos que el que implica la función de utilidad. Los bienes traídos al mercado (cantidades en el pedido) se transportan mediante dotaciones iniciales. Las órdenes limitadas se representan de la siguiente manera: el agente de órdenes trae un bien al mercado y tiene utilidades marginales distintas de cero en ese bien y en otro (dinero o numerario). Una orden de venta en el mercado tendrá una utilidad cero para el bien vendido en el mercado y positiva para el dinero o el numerario. Mertens borra los pedidos creando un motor coincidente mediante el uso del equilibrio competitivo, a pesar de que se violan las condiciones de interioridad más habituales para la economía lineal auxiliar. El mecanismo de Mertens proporciona una generalización de los puestos comerciales de Shapley-Shubik y tiene el potencial de una implementación en la vida real con órdenes limitadas en todos los mercados en lugar de con un solo especialista en un mercado.
Valor de Shapley
La fórmula diagonal en la teoría de los juegos cooperativos no atómicos atribuye elegantemente el valor de Shapley de cada jugador infinitesimal como su contribución marginal al valor de una muestra perfecta de la población de jugadores cuando se promedia sobre todos los tamaños de muestra posibles. Esta contribución marginal se ha expresado más fácilmente en forma de derivada, lo que lleva a la fórmula diagonal formulada por Aumann y Shapley. Esta es la razón histórica por la que originalmente se requirieron algunas condiciones de diferenciación para definir el valor de Shapley de los juegos cooperativos no atómicos. Pero primero intercambiando el orden de tomar el "promedio de todos los tamaños de muestra posibles" y tomar tal derivada, Jean-François Mertens usa el efecto suavizante de tal proceso de promediado para extender la aplicabilidad de la fórmula diagonal. [29] Este truco por sí solo funciona bien para juegos mayoritarios (representados por una función escalonada aplicada al porcentaje de población en la coalición). Explotando aún más esta idea de conmutación de tomar promedios antes de tomar la derivada, Jean-François Mertens gasta observando transformaciones invariantes y tomando promedios sobre ellas, antes de tomar la derivada. Al hacerlo, Mertens gasta la fórmula diagonal en un espacio de juegos mucho más grande, definiendo un valor de Shapley al mismo tiempo. [30] [31]
Refinamientos y equilibrios estables de Mertens
Los conceptos de solución que son refinamientos [32] del equilibrio de Nash han sido motivados principalmente por argumentos a favor de la inducción hacia atrás y la inducción hacia adelante. La inducción hacia atrás postula que la acción óptima de un jugador ahora anticipa lo óptimo de las acciones futuras de él y de los demás. El refinamiento llamado subjuego perfecto equilibrio implementa una versión débil de la inducción hacia atrás, y las versiones cada vez más fuertes son el equilibrio secuencial , perfecto equilibrio , el equilibrio cuasi-perfecta , y el equilibrio adecuado , donde los tres últimos se obtienen como límites de las estrategias perturbado. La inducción hacia adelante postula que la acción óptima de un jugador ahora presume la optimización de las acciones pasadas de otros siempre que sea consistente con sus observaciones. La inducción hacia adelante [33] se satisface mediante un equilibrio secuencial para el cual la creencia de un jugador en un conjunto de información asigna probabilidad solo a las estrategias óptimas de otros que permiten alcanzar esa información. En particular, dado que los equilibrios de Nash completamente mixtos son secuenciales, dichos equilibrios, cuando existen, satisfacen tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás. En su trabajo, Mertens logra por primera vez seleccionar equilibrios de Nash que satisfagan tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás. El método es dejar que esa característica se herede de juegos perturbados que se ven obligados a tener estrategias completamente mixtas, y el objetivo solo se logra con equilibrios estables de Mertens , no con los equilibrios de Kohlberg Mertens más simples.
Elon Kohlberg y Mertens [34] enfatizaron que un concepto de solución debe ser consistente con una regla de decisión admisible . Además, debería satisfacer el principio de invariancia de que no debería depender de cuál de las muchas representaciones equivalentes de la situación estratégica como un juego de forma extensiva se utilice. En particular, debería depender solo de la forma normal reducida del juego obtenida después de la eliminación de las estrategias puras que son redundantes porque sus beneficios para todos los jugadores se pueden replicar mediante una mezcla de otras estrategias puras. Mertens [35] [36] también enfatizó la importancia del principio de los mundos pequeños de que un concepto de solución debe depender solo de las propiedades ordinales de las preferencias de los jugadores, y no debe depender de si el juego incluye jugadores extraños cuyas acciones no tienen efecto sobre el las estrategias factibles y las recompensas de los jugadores originales.
Kohlberg y Mertens definieron tentativamente un concepto de solución con valores establecidos llamado estabilidad para juegos con números finitos de estrategias puras que satisface la admisibilidad, la invariancia y la inducción hacia adelante, pero un contraejemplo mostró que no necesita satisfacer la inducción hacia atrás; verbigracia. es posible que el conjunto no incluya un equilibrio secuencial. Posteriormente, Mertens [37] [38] definió un refinamiento, también llamado estabilidad y ahora a menudo llamado un conjunto de equilibrios estables de Mertens , que tiene varias propiedades deseables:
- Admisibilidad y perfección: Todos los equilibrios en un conjunto estable son perfectos, por lo tanto admisibles.
- Inducción hacia atrás e inducción hacia adelante: un conjunto estable incluye un equilibrio adecuado de la forma normal del juego que induce un equilibrio casi perfecto y secuencial en cada juego de forma extensiva con memoria perfecta que tiene la misma forma normal. Un subconjunto de un conjunto estable sobrevive a la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas y estrategias que son respuestas inferiores en todos los equilibrios del conjunto.
- Invarianza y mundos pequeños: los conjuntos estables de un juego son las proyecciones de los conjuntos estables de cualquier juego más grande en el que esté incrustado, al tiempo que se conservan las estrategias y los beneficios viables de los jugadores originales.
- Descomposición y división del jugador. Los conjuntos estables del producto de dos juegos independientes son el producto de sus conjuntos estables. Los conjuntos estables no se ven afectados por la división de un jugador en agentes de modo que ningún camino a través del árbol del juego incluya acciones de dos agentes.
Para juegos de dos jugadores con recuperación perfecta y recompensas genéricas, la estabilidad es equivalente a solo tres de estas propiedades: un conjunto estable usa solo estrategias no dominadas, incluye un equilibrio casi perfecto y es inmune a integrarse en un juego más grande. [39]
Un conjunto estable se define matemáticamente por (brevemente) la esencialidad del mapa de proyección de una vecindad conectada cerrada en el gráfico de los equilibrios de Nash sobre el espacio de juegos perturbados obtenidos al perturbar las estrategias de los jugadores hacia estrategias completamente mixtas. Esta definición implica más que la propiedad de que cada juego cercano tiene un equilibrio cercano. La esencialidad requiere además que ninguna deformación de los mapas de proyección hacia el límite, lo que asegura que las perturbaciones del problema de punto fijo que define los equilibrios de Nash tengan soluciones cercanas. Aparentemente, esto es necesario para obtener todas las propiedades deseables enumeradas anteriormente.
Teoría de la elección social y utilitarismo relativo
Una función de bienestar social (SWF) asigna perfiles de preferencias individuales a preferencias sociales sobre un conjunto fijo de alternativas. En un artículo fundamental, Arrow (1950) [40] mostró el famoso "Teorema de la imposibilidad" , es decir, no existe un SWF que satisfaga un sistema mínimo de axiomas: Dominio irrestricto , Independencia de alternativas irrelevantes , el criterio de Pareto y No dictadura. . Una gran cantidad de literatura documenta varias formas de relajar los axiomas de Arrow para obtener resultados posibles. El utilitarismo relativo (RU) (Dhillon y Mertens, 1999) [41] es un SWF que consiste en normalizar las utilidades individuales entre 0 y 1 y sumarlas, y es un resultado de "posibilidad" que se deriva de un sistema de axiomas muy cercano a los originales de Arrow pero modificado para el espacio de preferencias sobre loterías. A diferencia del utilitarismo clásico, RU no asume una utilidad cardinal o comparabilidad interpersonal. Partiendo de las preferencias individuales sobre las loterías, que se supone que satisfacen los axiomas de von-Neumann-Morgenstern (o equivalentes), el sistema de axiomas fija de manera única las comparaciones interpersonales. Se puede interpretar que el teorema proporciona una base axiomática para las comparaciones interpersonales "correctas", un problema que ha plagado la teoría de la elección social durante mucho tiempo. Los axiomas son:
- Individualismo: si todos los individuos son indiferentes entre todas las alternativas, entonces también lo es la sociedad.
- No trivialidad: el SWF no es siempre totalmente indiferente entre todas las alternativas,
- Sin mala voluntad : No es cierto que cuando todos los individuos menos uno son totalmente indiferentes, las preferencias de la sociedad son opuestas a las suyas.
- Anonimato: una permutación de todos los individuos no modifica las preferencias sociales.
- Independencia de Alternativas Redundantes: Este axioma restringe la Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) de Arrow al caso donde tanto antes como después del cambio, las alternativas "irrelevantes" son loterías sobre las otras alternativas.
- La monotonicidad es mucho más débil que el siguiente "axioma de buena voluntad": considere dos loterías y y dos perfiles de preferencia que coinciden para todos los individuos excepto , es indiferente entre y en el primer perfil, pero prefiere estrictamente a en el segundo perfil, la sociedad prefiere estrictamente a en el segundo perfil también.
- Finalmente, el axioma de continuidad es básicamente una propiedad de gráfico cerrado que toma la convergencia más fuerte posible para los perfiles de preferencia.
El teorema principal muestra que RU satisface todos los axiomas y si el número de individuos es mayor que tres, el número de candidatos es mayor que 5, entonces cualquier SWF que satisfaga los axiomas anteriores es equivalente a RU, siempre que existan al menos 2 individuos que no lo hagan. tienen preferencias exactamente iguales o exactamente opuestas.
Equidad intergeneracional en la evaluación de políticas
El utilitarismo relativo [41] puede servir para racionalizar el uso del 2% como una tasa de descuento social justa intergeneracionalmente para el análisis de costo-beneficio . Mertens y Rubinchik [42] muestran que una función de bienestar invariante de desplazamiento definida en un espacio rico de políticas (temporales), si es diferenciable, tiene como derivada una suma descontada de la política (cambio), con una tasa de descuento fija, es decir, la tasa de descuento social inducida. (La invariancia de cambio requiere una función evaluada en una política cambiada para devolver una transformación afín del valor de la política original, mientras que los coeficientes dependen únicamente del cambio de tiempo). En un modelo de generaciones superpuestas con crecimiento exógeno (siendo el tiempo el línea real completa), la función utilitaria relativa no varía cuando se evalúa en políticas (pequeñas y temporales) en torno a un equilibrio de crecimiento equilibrado (con un stock de capital que crece exponencialmente). Cuando las políticas se representan como cambios en las dotaciones de los individuos (transferencias o impuestos) y los servicios públicos de todas las generaciones se ponderan por igual, la tasa de descuento social inducida por el utilitarismo relativo es la tasa de crecimiento del PIB per cápita (2% en los EE . UU. [43] ). Esto también es consistente con las prácticas actuales descritas en la Circular A-4 de la Oficina de Administración y Presupuesto de EE. UU. , Que establece:
- Si su regla tendrá importantes beneficios o costos intergeneracionales, podría considerar un análisis de sensibilidad adicional usando una tasa de descuento más baja pero positiva, además de calcular los beneficios netos usando tasas de descuento del 3 y 7 por ciento. [44]
Referencias
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