Vector propio generalizado

En álgebra lineal , un vector propio generalizado de una matriz es un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . ^[1]${\ Displaystyle n \ times n}$ ${\ Displaystyle A}$

Dejar que sea un dimensional espacio vectorial ; dejar que sea un mapa lineal en L ( V ) , el conjunto de todos los mapas lineales de en sí mismo; y sea ​​la representación matricial de con respecto a alguna base ordenada .${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ phi}$

Puede que no siempre exista un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes que formen una base completa para . Es decir, la matriz puede no ser diagonalizable . ^{[2] [3]} Esto sucede cuando la multiplicidad algebraica de al menos un valor propio es mayor que su multiplicidad geométrica (la nulidad de la matriz o la dimensión de su espacio nulo ). En este caso, se denomina valor propio defectuoso y se denomina matriz defectuosa . ^[4]${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I)}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle A}$

Un vector propio generalizado correspondiente a , junto con la matriz genera una cadena de Jordan de vectores propios generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de . ^{[5] [6] [7]}${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle (A- \ lambda _ {i} I)}$${\ Displaystyle V}$

Usando vectores propios generalizados, un conjunto de vectores propios linealmente independientes de puede extenderse, si es necesario, a una base completa para . ^[8] Esta base se puede utilizar para determinar una "matriz casi diagonal" en la forma normal de Jordan , similar a , que es útil para calcular ciertas funciones matriciales de . ^[9] La matriz también es útil para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales donde no es necesario diagonalizable. ^{[10] [11]}${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle J}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '= A \ mathbf {x},}$${\ Displaystyle A}$