Triple sistema
En álgebra , un sistema triple (o ternar ) es un espacio vectorial V sobre un campo F junto con un mapa F -trilineal
Los ejemplos más importantes son los sistemas triples Lie y los sistemas triples Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949 para estudiar subespacios de álgebras asociativas cerrados bajo conmutadores triples [[ u , v ], w ] y anticonmutadores triples { u , { v , w }}. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de los espacios simétricos , particularmente los espacios simétricos hermitianos.y sus generalizaciones ( espacios R simétricos y sus duales no compactos).
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si el mapa trilineal, denotado , satisface las siguientes identidades:
![{\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot, \ cdot]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28fe776c6d24967c92205f772c4a8c1d3c0d743)
Las dos primeras identidades abstraen la simetría sesgada y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que el mapa lineal L u , v : V → V , definido por L u , v ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del producto triple. La identidad también muestra que el espacio k = span {L u , v : u , v ∈ V} está cerrado bajo el soporte del conmutador, de ahí un álgebra de Lie.
se puede convertir en un álgebra de Lie graduada, la incrustación estándar de m , con corchete
La descomposición de g es claramente una descomposición simétrica para este soporte de la mentira, y por lo tanto si G es un grupo de Lie conexo con álgebra de Lie g y K es un subgrupo con álgebra de Lie k , entonces G / K es un espacio simétrico .