En matemáticas , una variedad de bandera generalizada (o simplemente variedad de bandera ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F. Cuando F son los números reales o complejos, una variedad de bandera generalizada es una variedad suave o compleja , llamada variedad de bandera real o compleja . Las variedades bandera son naturalmente variedades proyectivas .
Las variedades bandera se pueden definir en varios grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completas en un espacio vectorial V sobre un campo F , que es una variedad de banderas para el grupo lineal especial sobre F . Otras variedades de banderas surgen considerando banderas parciales, o por restricción del grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para banderas parciales, se necesita especificar la secuencia de dimensiones de las banderas bajo consideración. Para subgrupos del grupo lineal, se deben imponer condiciones adicionales en las banderas.
En el sentido más general, una variedad de bandera generalizada se define como una variedad proyectiva homogénea , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un campo F con una acción transitiva de un grupo reductor G (y un subgrupo estabilizador suave; eso no es una restricción). para F de característica cero). Si X tiene un punto F - racional , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G. Una variedad homogénea proyectiva también se puede realizar como la órbita de un vector de mayor peso en una representación proyectivada de G . Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías de Cartan de tipo parabólico. Son variedades riemannianas homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto máximo de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos compactos de Lie .
Las variedades de banderas pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades de bandera correspondientes son los espacios simétricos hermitianos . Sobre los números reales, un espacio R es sinónimo de una variedad de bandera real y los espacios simétricos correspondientes se denominan espacios R simétricos .
Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):
donde n es la dimensión de V . Por lo tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d 1 , …, d k ).