Espacio simétrico hermitiano

Colector con simetría de inversión

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico Un n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Lazo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación. Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

En matemáticas , un espacio simétrico hermitiano es una variedad hermitiana que en cada punto tiene una simetría de inversión que preserva la estructura hermitiana. En primer lugar estudiado por Élie Cartan , forman una generalización natural de la noción de espacio simétrico de Riemann de colectores reales a variedades complejas .

Todo espacio simétrico hermitiano es un espacio homogéneo para su grupo de isometría y tiene una descomposición única como producto de espacios irreductibles y un espacio euclidiano. Los espacios irreductibles surgen por parejas como un espacio no compacto que, como mostró Borel , puede integrarse como un subespacio abierto de su espacio dual compacto. Harish Chandra demostró que cada espacio no compacto se puede realizar como un dominio simétrico acotado en un espacio vectorial complejo. El caso más simple involucra a los grupos SU (2), SU (1,1) y su complexificación común SL (2, C ). En este caso el espacio no compacto es el disco unitario , un espacio homogéneo para SU (1,1). Es un dominio acotado en el plano complejo C. La compactificación de un punto de C , la esfera de Riemann , es el espacio dual, un espacio homogéneo para SU (2) y SL (2, C ).

Los espacios simétricos hermitianos compactos irreducibles son exactamente los espacios homogéneos de grupos de Lie compactos simples por subgrupos conectados cerrados máximos que contienen un toro máximo y tienen un centro isomorfo al grupo circular. Hay una clasificación completa de los espacios irreductibles, con cuatro series clásicas, estudiadas por Cartan, y dos casos excepcionales; la clasificación se puede deducir de la teoría de Borel-de Siebenthal , que clasifica subgrupos conectados cerrados que contienen un toro máximo. Espacios simétricos hermitianos aparecen en la teoría de los sistemas de Jordan triples , varias variables complejas , geometría compleja , formas automorfas y representaciones de grupo, permitiendo en particular la construcción de representaciones holomorfas en series discretas de grupos de Lie semisimplejos. ^[1]

Espacios simétricos hermitianos de tipo compacto

Definición

Sea H un grupo de Lie semisimple compacto conectado, σ un automorfismo de H de orden 2 y H ^σ el subgrupo de punto fijo de σ. Sea K un subgrupo cerrado de H que se encuentra entre H ^σ y su componente de identidad . El espacio compacto homogéneo H / K se denomina espacio simétrico de tipo compacto . El álgebra de Lie admite una descomposición${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}}$

donde , el álgebra de Lie de K , es el espacio propio +1 de σ y el espacio propio -1. Si no contiene un simple sumando de , el par ( , σ) se denomina álgebra de Lie simétrica ortogonal de tipo compacto . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Cualquier producto interno en , invariante bajo la representación adjunta y σ, induce una estructura de Riemann en H / K , con H actuando por isometrías. Un ejemplo canónico viene dado por menos la forma Killing . Debajo de tal producto interior, y son ortogonales. H / K es entonces un espacio simétrico de Riemann de tipo compacto. ^[3]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El espacio simétrico H / K se denomina espacio simétrico hermitiano si tiene una estructura casi compleja que conserva la métrica de Riemann. Esto es equivalente a la existencia de un mapa lineal J con J ² = - I en que conserva el producto interior y conmuta con la acción de K .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Subgrupo de simetría y centro de isotropía

Si ( , σ) es hermitiana, K tiene centro no trivial y la simetría σ es interior, implementado por un elemento del centro de K .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

De hecho J mentiras en y EXP tJ forma un grupo de un parámetro en el centro de K . Esto se sigue porque si A , B , C , D se encuentran en , entonces por la invariancia del producto interno en ^[4]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

Reemplazando A y B por JA y JB , se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

Defina un mapa lineal δ en extendiendo J para que sea 0 en . La última relación muestra que δ es una derivación de . Dado que es semisimple, δ debe ser una derivación interna, de modo que${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}}$

con T en y A en . Tomando X en , se sigue que A = 0 y T está en el centro de y por lo tanto que K no es semisimple. El σ simetría es implementado por z = exp π T y la estructura casi compleja por exp π / 2 T . ^[5]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

La interioridad de σ implica que K contiene un toro máximo de H , por lo que tiene rango máximo. Por otro lado, el centralizador del subgrupo generado por el toro S de elementos exp tT está conectado, ya que si x es cualquier elemento en K hay un máximo torus que contienen x y S , que se encuentra en el centralizador. Por otro lado, contiene K desde S es central en K y está contenido en K desde z mentiras en S . Entonces K es el centralizador de Sy por lo tanto conectado. En particular K contiene el centro de H . ^[2]

Descomposición irreducible

Se dice que el espacio simétrico o el par ( , σ) es irreducible si la acción adjunta de (o, de manera equivalente, el componente de identidad de H ^σ o K ) es irreducible en . Esto es equivalente a la maximalidad de como subálgebra. ^[6]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

De hecho, existe una correspondencia uno a uno entre las subálgebras intermedias y los subespacios K -invariantes de dados por${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {m}}_{1}={\mathfrak {l}}\cap {\mathfrak {m}}.}}$

Cualquier álgebra simétrica ortogonal ( , σ) de tipo hermitiano se puede descomponer como una suma directa (ortogonal) de álgebras simétricas ortogonales irreductibles de tipo hermitiano. ^[7]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

De hecho, se puede escribir como una suma directa de álgebras simples.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {h}}_{i},}}$

cada uno de los cuales se deja invariante por el automorfismo σ y la estructura compleja J , ya que ambos son internos. La descomposición del espacio propio de coincide con sus intersecciones con y . Entonces la restricción de σ a es irreducible.${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$

Esta descomposición del álgebra de Lie simétrica ortogonal produce una descomposición directa del producto del correspondiente espacio simétrico compacto H / K cuando H simplemente está conectado. En este caso, el subgrupo de coma fija H ^σ se conecta automáticamente. Para H simplemente conectado , el espacio simétrico H / K es el producto directo de H _i / K _i con H _i simplemente conectado y simple. En el caso irreducible, K es un maximal conectado subgrupo de H . Dado que Kactúa irreductiblemente sobre (considerado como un espacio complejo para la estructura compleja definida por J ), el centro de K es un toro unidimensional T , dado por los operadores exp tT . Dado que cada H está simplemente conectado y K está conectado, el cociente H / K está simplemente conectado. ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Estructura compleja

Artículo principal: Estructuras complejas en espacios homogéneos.

si H / K es irreducible con K no semisimple, el grupo compacto H debe ser simple y K de rango máximo. De Borel-de Siebenthal teoría , la σ involución es interior y K es el centralizador de su centro, que es isomorfo a T . En particular, K está conectado. De ello se deduce que H / K está simplemente conectado y hay un subgrupo parabólico P en la complexificación G de H tal que H / K = G/ P . En particular, existe una estructura compleja en H / K y la acción de H es holomórfica. Dado que cualquier espacio simétrico hermitiano es un producto de espacios irreductibles, lo mismo es cierto en general.

A nivel de álgebra de Lie , hay una descomposición simétrica

${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}$

donde es un espacio vectorial real con una estructura compleja J , cuya dimensión compleja se da en la tabla. En consecuencia, hay una descomposición de álgebra de Lie graduada${\displaystyle ({\mathfrak {m}},J)}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}\oplus {\mathfrak {m}}_{-}}$

donde es la descomposición en + i y - i espacios propios de J y . El álgebra de Lie de P es el producto semidirecto . Las álgebras de Lie complejas son abelianas. De hecho, si U y V se encuentran en , [ U , V ] = J [ U , V ] = [ JU , JV ] = [± iU , ± iV ] = - [ U , V ], por lo que el corchete de Lie debe desaparecer.${\displaystyle {\mathfrak {m}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {m}}_{-}\oplus {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{+}\oplus {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$

Los subespacios complejos de son irreducible para la acción de K , ya que J conmuta con K de modo que cada uno es isomorfo a con estructura compleja ± J . De manera equivalente, el centro T de K actúa sobre la representación de la identidad y sobre su conjugado. ^[9]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

La realización de H / K como una variedad bandera generalizada G / P se obtiene tomando G como en la tabla (la complexificación de H ) y P como el subgrupo parabólico igual al producto semidirecto de L , la complexificación de K , con el complejo subgrupo abeliano exp . (En el lenguaje de los grupos algebraicos , L es el factor de Levi de P ).${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

Clasificación

Cualquier espacio simétrico hermitiana de tipo compacto se conecta simplemente y se puede escribir como un producto directo de espacios simétricos hermitianos irreducibles H _i / K _i con H _i simple, K _i conectada de rango máximo con el centro de T . Los irreductibles son, por tanto, exactamente los casos no semisimples clasificados por la teoría de Borel-de Siebenthal . ^[2]

En consecuencia, los espacios simétricos hermitianos compactos irreductibles H / K se clasifican de la siguiente manera.

GRAMO	H	K	dimensión compleja	rango	interpretación geométrica
${\displaystyle \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\,}$	${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	pq	min ( p , q )	Grassmanniano de subespacios p -dimensionales complejos de${\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}$
${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$	${\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}n]}$	Espacio de estructuras complejas ortogonales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$
${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$	norte	Espacio de estructuras complejas sobre compatible con el producto interior${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$
${\displaystyle \mathrm {SO} (n+2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n+2)\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\times \mathrm {SO} (2)}$	norte	2	Grassmannian de reales orientadas 2 subespacios dimensionales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$
${\displaystyle E_{6}^{\mathbb {C} }\,}$	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (10)\times \mathrm {SO} (2)}$	dieciséis	2	Complejificación del plano proyectivo de Cayley${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$
${\displaystyle E_{7}^{\mathbb {C} }}$	${\displaystyle E_{7}\,}$	${\displaystyle E_{6}\times \mathrm {SO} (2)}$	27	3	Espacio de subvariedades simétricas del plano proyectivo de Rosenfeld que son isomorfos a${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$

En términos de la clasificación de los espacios simétricos compactos de Riemann, los espacios simétricos hermitianos son las cuatro series infinitas AIII, DIII, CI y BDI con p = 2 o q = 2, y dos espacios excepcionales, a saber, EIII y EVII.

Ejemplos clásicos

Los espacios simétricos hermitianos irreductibles de tipo compacto están todos simplemente conectados. La simetría correspondiente σ del grupo de Lie compacto simple simplemente conectado es interna, dada por la conjugación del elemento único S en Z ( K ) / Z ( H ) del período 2. Para los grupos clásicos, como en la tabla anterior, estas simetrías son los siguientes: ^[10]

• AIII: en S (U ( p ) × U ( q )), donde α ^{p + q} = (- 1) ^p .${\displaystyle S={\begin{pmatrix}-\alpha I_{p}&0\\0&\alpha I_{q}\end{pmatrix}}}$
• DIII: S = iI en U ( n ) ⊂ SO (2 n ); esta elección es equivalente a .${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}}$
• CI: S = iI en U ( n ) ⊂ Sp ( n ) = Sp ( n , C ) ∩ U (2 n ); esta elección es equivalente a J _n .
• BDI: en SO ( p ) × SO (2).${\displaystyle S={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}}$

El subgrupo parabólico máximo P puede describirse explícitamente en estos casos clásicos. Para AIII

${\displaystyle \displaystyle {P(p,q)={\begin{pmatrix}A_{pp}&B_{pq}\\0&D_{qq}\end{pmatrix}}}}$

en SL ( p + q , C ). P ( p , q ) es el estabilizador de un subespacio de dimensión p en C ^{p + q} .

Los otros grupos surgen como puntos fijos de involuciones. Sea J la matriz n × n con 1 en la antidiagonal y 0 en otra parte y establezca

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

Entonces Sp ( n , C ) es el subgrupo de punto fijo de la involución θ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ de SL (2 n , C ). SO ( n , C ) se puede realizar como los puntos fijos de ψ ( g ) = B ( g ^t ) ^-1 B ^-1 en SL ( n , C ) donde B = J . Estas involuciones dejan invariante P ( n , n) en los casos DIII y CI y P ( p , 2) en el caso BDI. Los correspondientes subgrupos parabólicos P se obtienen tomando los puntos fijos. El grupo compacto H actúa transitivamente en G / P , de modo que G / P = H / K .

Espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto

Definición

Al igual que con los espacios simétricos en general, cada espacio simétrico hermitiano compacto H / K tiene un H ^* / K dual no compacto obtenido al reemplazar H con el subgrupo de Lie real cerrado H ^* del grupo de Lie complejo G con álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {g}}.}$

Incrustación de Borel

Mientras que el mapa natural de H / K a G / P es un isomorfismo, el mapa natural de H ^* / K a G / P es solo una inclusión en un subconjunto abierto. Esta inclusión se llama incrustación de Borel en honor a Armand Borel . De hecho, P ∩ H = K = P ∩ H *. Las imágenes de H y H * tienen la misma dimensión por lo que están abiertas. Dado que la imagen de H es compacta, tan cerrada, se deduce que H/ K = G / P . ^[11]

Descomposición de Cartan

La descomposición polar en el grupo lineal complejo G implica la descomposición de Cartan H * = K ⋅ exp en H *. ^[12]${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

Además, dada una subálgebra abeliana máxima en t, A = exp es un subgrupo toral tal que σ ( a ) = a ⁻¹ en A ; y cualesquiera dos de tales 's son conjugado por un elemento de K . Una declaración similar vale para . Además, si A * = exp , entonces${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}=i{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=KA^{*}K.}}$

Estos resultados son casos especiales de la descomposición de Cartan en cualquier espacio simétrico de Riemann y su dual. Las geodésicas que emanan del origen en los espacios homogéneos se pueden identificar con grupos de un parámetro con generadores en o . Resultados similares son válidos para el caso compacto: H = K ⋅ exp y H = KAK . ^[8]${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

Las propiedades del subespacio A totalmente geodésico se pueden mostrar directamente. A es cerrado porque el cierre de A es un subgrupo toral que satisface σ ( a ) = a ⁻¹ , por lo que su álgebra de Lie se encuentra en y, por lo tanto, es igual en maximalidad. A puede ser generado topológicamente por un solo elemento exp X , por lo que es el centralizador de X en . En la órbita K de cualquier elemento de hay un elemento Y tal que (X, Ad k Y) se minimiza en k = 1. Configuración de k${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$= exp tT con T en , se sigue que ( X , [ T , Y ]) = 0 y, por tanto, [ X , Y ] = 0, por lo que Y debe estar en . Así es la unión de los conjugados de . En particular, algún conjugado de X se encuentra en cualquier otra opción de , que centraliza ese conjugado; así que por maximalidad las únicas posibilidades son conjugados de .^[13]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Las descomposiciones

${\displaystyle \displaystyle {H=KAK,\,\,\,H=K\cdot \exp {\mathfrak {m}}}}$

puede ser probado directamente aplicando el teorema de la rebanada para grupos de transformación compactos a la acción de K en H / K . ^[14] De hecho, el espacio H / K se puede identificar con

${\displaystyle \displaystyle {M=\{\sigma (g)g^{-1}:g\in H\},}}$

una subvariedad cerrada de H , y la descomposición Cartan sigue demostrando que M es la unión de la Kak ^-1 para k en K . Dado que esta unión es la imagen continua de K × A , es compacta y está conectada. Por tanto, basta con mostrar que el sindicato está abierto en M y para ello basta con mostrar que cada a en A tiene una vecindad abierta en este sindicato. Ahora, al calcular las derivadas en 0, la unión contiene una vecindad abierta de 1. Si a es central, la unión es invariante bajo la multiplicación por a., por lo que contiene una vecindad abierta de a . Si una no es central, escribir a = b ² con b en A . Entonces τ = Ad b - Ad b ⁻¹ es un operador sesgado-adjunto en anticonmutación con σ, que se puede considerar como un operador de calificación Z ₂ σ en . Por un argumento característico de Euler-Poincaré se deduce que la superdimensión de coincide con la superdimensión del núcleo de τ. En otras palabras,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}_{a}=\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}_{a},}}$

donde y son los subespacios fijados por Ad a . Dejar que el complemento ortogonal de be . Al calcular las derivadas, se deduce que Ad e ^X ( a e ^Y ), donde X se encuentra en e Y en , es una vecindad abierta de a en la unión. Aquí los términos de un e ^Y se encuentran en la unión por el argumento para el centro de una : en efecto una está en el centro del componente de identidad del centralizador de un invariante por σ y contiene una .${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$

La dimensión de se llama rango del espacio simétrico hermitiano.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Raíces fuertemente ortogonales

En el caso de los espacios simétricos hermitianos, Harish-Chandra dio una opción canónica para . Esta elección de se determina tomando un toro máximo T de H en K con álgebra de Lie . Dado que la simetría σ es implementada por un elemento de T que se encuentra en el centro de H , los espacios de las raíces en se dejan invariantes por σ. Actúa como la identidad de los contenidos en y menos la identidad de los contenidos en .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$

Las raíces con espacios de raíces adentro se llaman raíces compactas y aquellas con espacios de raíces adentro se llaman raíces no compactas . (Esta terminología se origina en el espacio simétrico de tipo no compacto.) Si H es simple, el generador Z del centro de K puede usarse para definir un conjunto de raíces positivas, según el signo de α ( Z ). Con esta elección de raíces y son la suma directa de los espacios de las raíces sobre las raíces α no compactas positivas y negativas. Los vectores raíz E _α se pueden elegir de modo que${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

${\displaystyle \displaystyle {X_{\alpha }=E_{\alpha }+E_{-\alpha },\,\,\,Y_{\alpha }=i(E_{\alpha }-E_{-\alpha })}}$

acostarse . Las raíces simples α ₁ , ...., α _n son las raíces positivas indecomponibles. Estos se pueden numerar de modo que α _i desaparezca en el centro de para i , mientras que α ₁ no. Así, α ₁ es la única raíz simple no compacta y las otras raíces simples son compactas. Cualquier raíz positiva no compacta tiene entonces la forma β = α ₁ + c ₂ α ₂ + ⋅⋅⋅ + c _n α _n con coeficientes no negativos c _i . Estos coeficientes conducen a un orden lexicográfico${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$sobre raíces positivas. El coeficiente de α ₁ es siempre uno porque es irreducible para K por lo que se amplía mediante vectores obtenidos aplicando sucesivamente los operadores de descenso E _–α para raíces compactas simples α.${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

Se dice que dos raíces α y β son fuertemente ortogonales si ± α ± β no son raíces o cero, escrito α ≐ β. La raíz positiva más alta ψ ₁ no es compacta. Tome ψ ₂ como la raíz positiva no compacta más alta fuertemente ortogonal a ψ ₁ (para el orden lexicográfico). Luego continúe de esta manera tomando ψ _{i + 1} como la raíz positiva no compacta más alta fuertemente ortogonal a ψ ₁ , ..., ψ _i hasta que el proceso termine. Los vectores correspondientes

${\displaystyle \displaystyle {X_{i}=E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}}}$

acostarse y conmutar por una fuerte ortogonalidad. Su envergadura es la subálgebra abeliana máxima canónica de Harish-Chandra. ^[15] (Como Sugiura mostró más tarde, después de haber fijado T , el conjunto de raíces fuertemente ortogonales se determina únicamente hasta la aplicación de un elemento en el grupo de Weyl de K . ^[16] )${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

La máxima se puede comprobar mostrando que si

${\displaystyle \displaystyle {[\sum c_{\alpha }E_{\alpha }+{\overline {c_{\alpha }}}E_{-\alpha },E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}]=0}}$

para todo i , entonces c _α = 0 para todas las raíces α positivas no compactas diferentes de las de ψ _j . Esto sigue mostrando inductivamente que si c _α ≠ 0, entonces α es fuertemente ortogonal a ψ ₁ , ψ ₂ , ... una contradicción. De hecho, la relación anterior muestra que ψ _i + α no puede ser una raíz; y que si ψ _i - α es una raíz, entonces necesariamente tendría la forma β - ψ _i . Si ψ _i - α fuera negativo, entonces α sería una raíz positiva más alta que ψ _i , fuertemente ortogonal a ψ _j con j < i, que no es posible; de manera similar si β - ψ _i fuera positivo.

Teorema de polisfera y polidisco

Canónica elección de Harish-Chandra de clientes potenciales a un polydisk y el teorema polysphere en H * / K y H / K . Este resultado reduce la geometría a productos del ejemplo prototípico que involucra a SL (2, C ), SU (1,1) y SU (2), es decir, el disco unitario dentro de la esfera de Riemann.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

En el caso de H = SU (2) la simetría σ viene dada por la conjugación de la matriz diagonal con entradas ± i de modo que

${\displaystyle \displaystyle {\sigma {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}}$

El subgrupo de punto fijo es el toro máximo T , las matrices diagonales con entradas e ^{± it} . SU (2) actúa sobre la esfera de Riemann de forma transitiva mediante transformaciones de Möbius y T es el estabilizador de 0. SL (2, C ), la complejación de SU (2), también actúa mediante transformaciones de Möbius y el estabilizador de 0 es el subgrupo B de matrices triangulares inferiores. El subgrupo no compacto SU (1,1) actúa exactamente con tres órbitas: el disco unitario abierto | z | <1; el círculo unitario z = 1; y su exterior | z | > 1. Por lo tanto${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {SU} (1,1)/\mathbf {T} =\{z:|z|<1\}\,\,\,\subset \,\,\,B_{+}/\mathbf {T} _{\mathbb {C} }=\mathbb {C} \,\,\,\subset \,\,\,\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )/B=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}}$

donde B ₊ y T _C denotan los subgrupos de matrices triangulares y diagonales superiores en SL (2, C ). El término medio es la órbita de 0 debajo de las matrices triangulares unitarias superiores.

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}}.}}$

Ahora, para cada raíz ψ _i hay un homomorfismo de π _i de SU (2) en H que es compatible con las simetrías. Se extiende de forma única a un homomorfismo de SL (2, C ) en G . Las imágenes de las álgebras de Lie para diferentes desplazamientos de ψ _i ya que son fuertemente ortogonales. Por tanto, existe un homomorfismo π del producto directo SU (2) ^r en H compatible con las simetrías. Se extiende a un homomorfismo de SL (2, C ) ^r en G . El núcleo de π está contenido en el centro (± 1) ^r de SU (2) ^rque se fija puntualmente por la simetría. Por lo que la imagen del centro bajo pi mentiras en K . Por lo tanto, hay una incrustación de la polisfera (SU (2) / T) ^r en H / K = G / P y la polisfera contiene el polidisco (SU (1,1) / T) ^r . La polisfera y el polidisco son el producto directo de r copias de la esfera de Riemann y el disco unitario. Por las descomposiciones de Cartan en SU ​​(2) y SU (1,1), la polisfera es la órbita de T _r A en H / K y el polidisco es la órbita de T _r A *, donde T_r = π ( T ^r ) ⊆ K . Por otro lado, H = KAK y H * = K A * K .

Por tanto, todo elemento del espacio compacto simétrico hermitiano H / K está en la órbita K de un punto de la polisfera; y cada elemento de la imagen debajo de la incrustación de Borel del espacio simétrico hermitiano no compacto H * / K está en la órbita K de un punto en el polidisco. ^[17]

Incrustación de Harish-Chandra

H * / K , el espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto, se encuentra en la imagen de , un subconjunto abierto denso de H / K biholomorfo a . El dominio correspondiente en está acotado. Esta es la incrustación de Harish-Chandra que lleva el nombre de Harish-Chandra . ${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

De hecho, Harish-Chandra mostró las siguientes propiedades del espacio :${\displaystyle \mathbf {X} =\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot K_{\mathbb {C} }\cdot \exp({\mathfrak {m}}_{-})=\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot P}$

1. Como espacio, X es el producto directo de los tres factores.
2. X está abierto en G .
3. X es denso en G .
4. X contiene H *.
5. El cierre de H * / K en X / P = es compacto.${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$

De hecho son grupos abelianos complejos normalizados por K _C . Además, desde .${\displaystyle M_{\pm }=\exp {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{+},{\mathfrak {m}}_{-}]\subset {\mathfrak {k}}_{\mathfrak {C}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {k}}}$

Esto implica P ∩ M ₊ = {1}. Porque si x = e ^X con X en se encuentra en P , debe normalizar M _- y por tanto . Pero si Y miente , entonces${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {Y=\mathrm {Ad} (X)\cdot Y=Y+[X,Y]+{1 \over 2}[X,[X,Y]]\in {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}_{-},}}$

de modo que X conmuta con . Pero si X conmuta con cada espacio raíz no compacto, debe ser 0, por lo que x = 1. De ello se deduce que el mapa de multiplicación μ en M ₊ × P es inyectivo, por lo que sigue (1). De manera similar, la derivada de μ en ( x , p ) es${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(X,Y)=\mathrm {Ad} (p^{-1})X+Y=\mathrm {Ad} (p^{-1})(X\oplus \mathrm {Ad} (p)Y),}}$

que es inyectiva, por lo que sigue (2). Para el caso especial H = SU (2), H * = SU (1,1) y G = SL (2, C ) las demás afirmaciones son consecuencia de la identificación con la esfera de Riemann, C y el disco unitario. Se pueden aplicar a los grupos definidos para cada raíz ψ _i . Según el teorema de la polisfera y el polidisco, H * / K , X / P y H / K son la unión de las traducciones K del polidisco, C ^r y la polisfera. Entonces H * se encuentra en X, El cierre de H * / K es compacto en X / P , que es a su vez denso en H / K .

Tenga en cuenta que (2) y (3) son también consecuencias del hecho de que la imagen de X en G / P es el de la célula grande B ₊ B en la descomposición Gauss de G . ^[18]

Utilizando los resultados del sistema de raíces restringido de los espacios simétricos H / K y H * / K , Hermann mostró que la imagen de H * / K en es un disco unitario generalizado. De hecho, es el conjunto convexo de X para el que la norma del operador de ad Im X es menor que uno. ^[19]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

Dominios simétricos delimitados

Se dice que un dominio acotado Ω en un espacio vectorial complejo es un dominio simétrico acotado si para cada x en Ω , hay un biholomorfismo involutivo σ _x de Ω para el cual x es un punto fijo aislado. La incrustación de Harish-Chandra exhibe cada espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto H * / K como un dominio simétrico acotado. El grupo de biholomorfismo de H ^* / K es igual a su grupo de isometría H ^* .

A la inversa, todo dominio simétrico acotado surge de esta manera. De hecho, dado un dominio simétrico acotado Ω , el núcleo de Bergman define una métrica en Ω , la métrica de Bergman , para la cual todo biholomorfismo es una isometría. Esto da cuenta de Ω como un espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto. ^[20]

Clasificación

Los dominios simétricos limitados irreductibles se denominan dominios de Cartan y se clasifican de la siguiente manera.

Escribe	dimensión compleja	interpretación geométrica
Yo pq	pq	Complejo p × q matrices con norma operador menos de 1
II n ( n > 4)	n ( n - 1) / 2	Matrices n × n antisimétricas complejas con norma de operador menor que 1
III n ( n > 1)	n ( n + 1) / 2	Matrices n × n simétricas complejas con norma de operador menor que 1
IV n	norte	Esfera de mentira:${\displaystyle |z|^{2}<{1 \over 2}(1+(z\cdot z)^{2})<1}$
V	dieciséis	Matrices 2 × 2 sobre el álgebra de Cayley con norma de operador menor que 1
VI	27	Matrices hermitianas 3 × 3 sobre el álgebra de Cayley con norma de operador menor que 1

Dominios clásicos

En los casos clásicos (I-IV), el grupo no compacto se puede realizar mediante matrices de bloques de 2 × 2 ^[21]

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}}$

actuando por transformaciones generalizadas de Möbius

${\displaystyle \displaystyle {g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}}$

El teorema del polidisco toma la siguiente forma concreta en los casos clásicos: ^[22]

• Tipo I _pq ( p ≤ q ): para cada matriz p × q M existen matrices unitarias tales que UMV es diagonal. De hecho, esto se sigue de la descomposición polar para matrices p × p .
• Tipo III _n : para cada matriz M simétrica compleja n × n hay una matriz unitaria U tal que UMU ^t es diagonal. Esto lo prueba un argumento clásico de Siegel . Tome V unitario de modo que V * M * MV sea ​​diagonal. Entonces V ^t MV es simétrico y sus partes real e imaginaria conmutan. Puesto que son matrices simétricas reales que pueden ser diagonalizado simultáneamente por una verdadera matriz ortogonal W . Entonces UMU ^t es diagonal si U =WV ^t .
• Tipo II _n : para cada matriz M simétrica oblicua compleja n × n hay una matriz unitaria tal que UMU ^t está formada por bloques diagonales y un cero si n es impar. Como en el argumento de Siegel, esto puede reducirse al caso en el que las partes real e imaginaria de M se conmutan. Cualquier matriz simétrica sesgada real se puede reducir a la forma canónica dada mediante una matriz ortogonal y esto se puede hacer simultáneamente para matrices de conmutación.${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$
• Tipo IV _n : mediante una transformación en SO ( n ) × SO (2) cualquier vector puede transformarse de modo que todas las coordenadas menos las dos primeras sean distintas de cero.

Componentes de contorno

El grupo no compacto H * actúa sobre el complejo espacio simétrico hermitiano H / K = G / P con solo un número finito de órbitas. La estructura de la órbita se describe en detalle en Wolf (1972) . En particular, el cierre del dominio limitado H * / K tiene una órbita cerrada única, que es el límite de Shilov del dominio. En general las órbitas son uniones de espacios simétricos hermitianos de menor dimensión. La teoría de la función compleja de los dominios, en particular el análogo de las fórmulas integrales de Cauchy , se describe para los dominios de Cartan en Hua (1979). El cierre de la dominio acotado es la compactificación Baily-Borel de H * / K . ^[23]

La estructura de los límites se puede describir mediante transformadas de Cayley . Para cada copia de SU (2) definida por una de las raíces no compactas ψ _i , hay una transformada de Cayley c _i que, como transformación de Möbius, mapea el disco unitario en el semiplano superior. Dado un subconjunto I de índices de la familia fuertemente ortogonal ψ ₁ , ..., ψ _r , la transformada parcial de Cayley c _I se define como el producto de los c _i con i en I en el producto de los grupos π _i . Deje que G ( yo) ser el centralizador de este producto en G y H * ( I ) = H * ∩ G ( I ). Desde hojas sigma H * ( I ) invariante, hay un espacio simétrico hermitiana correspondiente M _I H * ( I ) / H * ( I ) ∩ K ⊂ H * / K = M . El componente de límite para el subconjunto I es la unión de la K -translates de c _I M _I . Cuando yoes el conjunto de todos los índices, M _I es un solo punto y el componente del límite es el límite de Shilov. Por otra parte, M _I está en el cierre de M _J si y sólo si I ⊇ J . ^[24]

Propiedades geometricas

Cada espacio simétrico hermitiano es una variedad de Kähler . Pueden definirse de manera equivalente como espacios simétricos de Riemann con una estructura compleja paralela con respecto a la cual la métrica de Riemann es hermitiana . La estructura compleja se conserva automáticamente mediante el grupo de isometría H de la métrica, por lo que cualquier espacio simétrico hermitiano M es una variedad compleja homogénea. Algunos ejemplos son espacios vectoriales complejos y espacios proyectivos complejos , con sus métricas hermitianas habituales y métricas de Fubini-Study , y las bolas unitarias complejas con métricas adecuadas para que se vuelvan completas y simétricas riemannianas. ElLos espacios simétricos hermitianos compactos son variedades proyectivas , y admiten un grupo de Lie G de biholomorfismos estrictamente mayor con respecto al cual son homogéneos: de hecho, son variedades bandera generalizadas , es decir, G es semisimple y el estabilizador de un punto es un subgrupo parabólico. P de G . Entre las variedades de bandera generalizadas (complejas) G / P , se caracterizan como aquellas para las que el nilradical del álgebra de Lie de Pes abeliano. Por lo tanto, están contenidos dentro de la familia de espacios R simétricos que, a la inversa, comprende espacios simétricos hermitianos y sus formas reales. Los espacios simétricos hermitianos no compactos se pueden realizar como dominios acotados en espacios vectoriales complejos.

Álgebras de Jordan

Ver también: mutación (álgebra de Jordan) , cono simétrico y álgebra cuadrática de Jordan

Aunque los espacios simétricos hermitianos clásicos pueden construirse mediante métodos ad hoc, los sistemas triples de Jordan , o equivalentemente pares de Jordan, proporcionan un medio algebraico uniforme para describir todas las propiedades básicas relacionadas con un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto y su dual no compacto. Esta teoría se describe en detalle en Koecher (1969) y Loos (1977) y se resume en Satake (1981) . El desarrollo es en orden inverso al que utiliza la teoría de la estructura de los grupos de Lie compactos. Su punto de partida es el espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto realizado como un dominio simétrico acotado. Se puede describir en términos de un par de Jordan o un sistema triple de Jordan hermitian. Esta estructura de álgebra de Jordan se puede utilizar para reconstruir el espacio simétrico hermitiano dual de tipo compacto, incluyendo en particular todas las álgebras de Lie y grupos de Lie asociados.

La teoría es más fácil de describir cuando el espacio simétrico hermitiano compacto irreducible es de tipo tubo. En ese caso, el espacio está determinado por un álgebra de Lie real simple con forma de Killing definida negativa. Debe admitir una acción de SU (2) que solo actúa a través de la representación trivial y adjunta, ocurriendo ambos tipos. Dado que es simple, esta acción es interna, por lo que se implementa mediante una inclusión del álgebra de Lie de SU (2) en . La complejidad de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se descompone como una suma directa de tres espacios propios para las matrices diagonales en SU ​​(2). Es un álgebra de Lie compleja de tres grados, con el elemento del grupo Weyl de SU (2) que proporciona la involución. Cada uno de los ± 1 eigenspaces tiene la estructura de un álgebra de Jordan complejo unital que surge explícitamente como la complejificación de un álgebra de Jordan euclidiana. Puede identificarse con el espacio de multiplicidad de la representación adjunta de SU (2) en .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La descripción de los espacios simétricos hermitianos irreductibles de tipo tubo comienza con un álgebra E euclidiana simple de Jordania . Admite marcos de Jordan , es decir, conjuntos de idempotentes mínimos ortogonales e ₁ , ..., e _m . Cualquier dos están relacionados por un automorfismo de E , de modo que el número entero m es un invariante llamado el rango de E . Además, si A es la complexificación de E , tiene un grupo de estructura unitaria . Es un subgrupo de GL ( A ) preservar el producto interior complejo natural en A . Cualquier elementoa en A tiene una descomposición polar a = u ∑ α _i a _i con α _i ≥ 0 . La norma espectral está definida por || a || = sup α _i . El asociado de dominio simétrica delimitada es sólo la bola unidad abierto D en A . Hay un biholomorfismo entre D y el dominio del tubo T = E + iC donde C es el cono convexo auto-dual abierto de elementos en E de la forma a = u ∑ α_i a _i conuun automorfismo deEy α _i > 0. Esto da dos descripciones del espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto. No es una forma natural de la utilización delas mutacionesdel Jordán álgebraAa compactar el espacioA. La compactificaciónXes una variedad compleja y el álgebradeLie de dimensión finitade los campos vectoriales holomórficos enXse puede determinar explícitamente. Se pueden definir grupos de un parámetro de biholomorfismos de modo que los correspondientes campos de vectores holomórficos abarquen${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Esto incluye el grupo de todas las transformaciones complejas de Möbius correspondientes a matrices en SL (2, C ). El subgrupo SU (1,1) deja invariante la bola unitaria y su cierre. El subgrupo SL (2, R ) deja invariante el dominio del tubo y su cierre. El Cayley habitual transformar y su inverso, el mapeo de la unidad de disco en C para el semiplano superior, establece mapas análogas entre D y T . El polidisco corresponde a las subálgebras de Jordan reales y complejas generadas por un marco de Jordan fijo. Se admite una acción transitiva de SU (2) ^m y esta acción se extiende a X . El grupo Ggenerado por los grupos de biholomorfismos de un parámetro actúa fielmente . El subgrupo generado por el componente de identidad K del grupo de estructura unitaria y los operadores en SU ​​(2) ^m . Define un Lie compacto grupo H que actúa transitivamente en X . Así, H / K es el correspondiente espacio simétrico hermitiano de tipo compacto. El grupo G se puede identificar con la complejización de H . El subgrupo H * dejando D invariante es una forma real no compacto de G . Actúa transitivamente sobre D de modo que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$H * / K es el espacio simétrico hermitiano dual de tipo no compacto. Las inclusiones D ⊂ A ⊂ X reproducen las incrustaciones de Borel y Harish-Chandra. La clasificación de los espacios simétricos hermitianos de tipo tubo se reduce a la de las álgebras de Jordan euclidianas simples. Estos fueron clasificados por Jordan, von Neumann & Wigner (1934) en términos de álgebras euclidianas de Hurwitz , un tipo especial de álgebra de composición .

En general, un espacio simétrico hermitiano da lugar a un álgebra de Lie de 3 grados con un automorfismo lineal conjugado de período 2 que cambia las partes de grado ± 1 y conserva la parte de grado 0. Esto da lugar a la estructura de un par de Jordan o sistema triple de Jordan hermitaño , al que Loos (1977) amplió la teoría de las álgebras de Jordan. Todos los espacios simétricos hermitianos irreductibles pueden construirse uniformemente dentro de este marco. Koecher (1969)construyó el irreducible espacio simétrico hermitiano de tipo no tubular a partir de un álgebra de Jordan euclidiana simple junto con un automorfismo de período 2. El autoespacio -1 del automorfismo tiene la estructura de un par de Jordan, que se puede deducir del álgebra de Jordan más grande. En el caso de tipo no tubular correspondiente a un dominio de Siegel de tipo II, no existe un subgrupo distinguido de transformaciones de Möbius reales o complejas. Para los espacios simétricas hermitianas irreducibles, tipo de tubo se caracteriza por la dimensión real de la frontera Shilov S es igual a la dimensión compleja de D .

Ver también

• Cono convexo invariante

Notas

1. Knapp 1972
2. Lobo 2010
3. Ver:
   • Helgason 1978
   • Lobo 2010
4. Kobayashi y Nomizu 1996 , págs. 149-150
5. Kobayashi y Nomizu 1996 , págs. 261-262
6. Ver:
   • Lobo 2010
   • Helgason 1978 , pág. 378
7. Ver:
   • Helgason 1978 , págs. 378–379
   • Lobo 2010
8. Helgason, 1978
9. Mok 1989
10. Helgason 1978 , págs. 444–447,451–455
11. Ver:
    • Borel 1952
    • Helgason 1978
12. Dieudonné 1977
13. Helgason 1978 , p. 248
14. Ver:
    • Duistermaat y Kolk 2000
    • Bourbaki 1981 , págs. 35–36
    • Bourbaki 1982 , págs. 8–9
15. Ver:
    • Helgason 1978 , págs. 375–387
    • Lobo 1972
    • Mok 1989 , págs. 88–94
16. Agaoka y Kaneda 2002
17. Ver:
    • Lobo 1972
    • Helgason 1978
    Y Mok 1989 , págs. 88–94
18. Ver:
    • Helgason 1978 , págs. 382–396
    • Wolf 1972 , pág. 281
    • Mok 1989
19. Ver:
    • Wolf 1972 , págs. 284–286
    • Mok 1989 , pág. 98
20. Ver:
    • Helgason 1978
    • Lobo 1972
    • Mok 1989
21. Ver:
    • Borel 1952
    • Wolf 1972 , págs. 321–331
    • Mok 1989 , págs. 61–80
22. Ver:
    • Siegel 1943 , págs. 14-15
    • Mok 1989 , págs. 61–80
23. Borel y Ji 2006 , págs. 77–91
24. Wolf 1972 , págs. 286-293

Referencias

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• Wolf, Joseph A. (1972), "Estructura fina de espacios simétricos hermitianos", en Boothby, William; Weiss, Guido (eds.), Symmetric spaces (Short Courses, Washington University) , Pure and Applied Mathematics, 8 , Dekker, págs. 271–357. Contiene una descripción detallada de los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto.