En álgebra lineal , un mapa multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, un mapa multilineal es una función
dónde y son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada, si todas las variables pero se mantienen constantes, entonces es una función lineal de. [1]
Un mapa multilineal de una variable es un mapa lineal y de dos variables es un mapa bilineal . De manera más general, un mapa multilineal de k variables se denomina mapa k- lineal . Si el codominio de un mapa multilineal es el campo de escalares, se denomina forma multilineal . Los mapas multilineales y las formas multilineales son objetos fundamentales de estudio en el álgebra multilineal .
Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar mapas k- lineales simétricos , antisimétricos y alternos . Estos últimos coinciden si el anillo (o campo ) subyacente tiene una característica diferente de dos, de lo contrario los dos primeros coinciden.
Ejemplos de- Cualquier mapa bilineal es un mapa multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en un espacio vectorial es un mapa multilineal, como lo es el producto cruzado de vectores en.
- El determinante de una matriz es una función multilineal alterna de las columnas (o filas) de una matriz cuadrada .
- Si es una función C k , entonces lath derivada de en cada punto en su dominio puede verse como un simétrico -función lineal .
Representación coordinadaDejar
ser un mapa multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita, donde tiene dimensión , y tiene dimensión . Si elegimos una base para cada y una base por (usando negrita para los vectores), entonces podemos definir una colección de escalares por
Entonces los escalares determinar completamente la función multilineal . En particular, si
por , luego
EjemploTomemos una función trilineal
donde V i = R 2 , d i = 2, i = 1 , 2, 3 y W = R , d = 1 .
Una base para cada V i es Dejar
dónde . En otras palabras, la constante es un valor de función en uno de los ocho posibles triples de vectores base (ya que hay dos opciones para cada uno de los tres ), a saber:
Cada vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores básicos
El valor de la función en una colección arbitraria de tres vectores se puede expresar como
O, en forma expandida como
Relación con los productos tensorialesExiste una correspondencia uno a uno natural entre mapas multilineales
y mapas lineales
dónde denota el producto tensorial de. La relación entre las funciones y está dado por la fórmula
Funciones multilineales en matrices n × nSe pueden considerar funciones multilineales, en una matriz n × n sobre un anillo conmutativo K con identidad, como una función de las filas (o equivalentemente las columnas) de la matriz. Let A sea una matriz tal y una i , 1 ≤ i ≤ n , sea de las filas de A . Entonces la función multilineal D se puede escribir como
satisfactorio
Si dejamos representar la j- ésima fila de la matriz identidad, podemos expresar cada fila a i como la suma
Usando la multilinealidad de D reescribimos D ( A ) como
Continuando con esta sustitución para cada a i obtenemos, para 1 ≤ i ≤ n ,
donde, dado que en nuestro caso 1 ≤ i ≤ n ,
es una serie de sumas anidadas.
Por lo tanto, D ( A ) está determinado únicamente por la forma en que D opera en.
EjemploEn el caso de matrices 2 × 2 obtenemos
Dónde y . Si restringimos para ser una función alterna entonces y . Dejando obtenemos la función determinante en matrices 2 × 2:
Propiedades- Un mapa multilineal tiene un valor de cero siempre que uno de sus argumentos sea cero.
Ver tambiénReferencias