espacio n-conexo
En la rama matemática de la topología algebraica , específicamente la teoría de la homotopía , la n - conexión (a veces, n -conexión simple ) generaliza los conceptos de conexión de ruta y conexión simple . Decir que un espacio es n -conexo es decir que sus primeros n grupos de homotopía son triviales, y decir que un mapa es n -conexo significa que es un isomorfismo "hasta la dimensión n, en homotopía ".
Se dice que un espacio topológico X está n - conectado (para n positivo ) cuando no está vacío, está conectado por caminos y sus primeros n grupos de homotopía desaparecen de manera idéntica, es decir
donde denota el i -ésimo grupo de homotopía y 0 denota el grupo trivial. [1]
Los requisitos de no estar vacío y conectado por ruta pueden interpretarse como (−1)-conectado y 0-conectado , respectivamente, lo cual es útil para definir mapas 0-conectados y 1-conectados, como se muestra a continuación.
Este es solo un conjunto puntual , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase del mapa trivial, enviando S 0 al punto base de X . Usando este conjunto, un espacio es conexo por 0 si y solo si el conjunto de homotopía 0 es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X sea puntiagudo (tenga un punto base elegido), lo que no se puede hacer si X está vacío.
Un espacio topológico X es conexo por caminos si y solo si su 0º grupo de homotopía desaparece de manera idéntica, ya que la conexión por caminos implica que dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en X pueden conectarse con un camino continuo que comienza en x 1 y termina en x 2 , que es equivalente a la afirmación de que cada aplicación de S 0 (un conjunto discreto de dos puntos) a X se puede deformar continuamente a una aplicación constante. Con esta definición, podemos definir X comon -conectado si y solo si