En matemáticas , un conjunto puntiagudo [1] [2] (también conjunto basado [1] o conjunto arraigado [3] ) es un par ordenado dónde es un conjunto y es un elemento de llamado punto base , [2] también deletreado punto base . [4] : 10–11
Mapas entre conjuntos puntiagudos y (llamados mapas basados , [5] mapas puntiagudos , [4] o mapas de preservación de puntos [6] ) son funciones de a que mapean un punto base a otro, es decir, un mapa tal que . Esto generalmente se denota
- .
Los conjuntos puntiagudos son estructuras algebraicas muy simples . En el sentido del álgebra universal , un conjunto puntiagudo es un conjuntojunto con una única operación nulary que selecciona el punto base. [7] Los mapas puntiagudos son los homomorfismos de estas estructuras algebraicas.
La clase de todos los conjuntos puntiagudos junto con la clase de todos los mapas basados forman una categoría . En esta categoría los conjuntos singleton puntiagudos son objetos iniciales y objetos terminales , [1] es decir, son objetos cero . [4] : 226 Hay un functor fiel de conjuntos puntiagudos a conjuntos habituales, pero no está completo y estas categorías no son equivalentes . [8] : 44 En particular, el conjunto vacío no es un conjunto puntiagudo porque no tiene ningún elemento que pueda elegirse como punto base. [9]
La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas basados es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones parciales . [6] Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos 'impropios' e 'infinitos' se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactación de un punto ) y en informática teórica ". [10]
La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos es isomorfa a la categoría de cóslice , dónde es un conjunto singleton. [8] : 46 [11] Esto coincide con la caracterización algebraica, ya que el mapa únicoextiende los triángulos conmutativos que definen las flechas de la categoría del cóslice para formar los cuadrados conmutativos que definen los homomorfismos de las álgebras.
La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos tiene tanto productos como coproductos , pero no es una categoría distributiva . También es un ejemplo de una categoría donde no es isomorfo a . [9]
Muchas estructuras algebraicas son conjuntos puntiagudos de una manera bastante trivial. Por ejemplo, los grupos son conjuntos puntiagudos al elegir el elemento de identidad como punto base, de modo que los homomorfismos de grupo son mapas que conservan puntos. [12] : 24 Esta observación puede reformularse en términos de teoría de categorías como la existencia de un funtor olvidadizo de grupos a conjuntos puntiagudos. [12] : 582
Un conjunto puntiagudo puede verse como un espacio puntiagudo bajo la topología discreta o como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento . [13]
Como "conjunto arraigado", la noción aparece naturalmente en el estudio de los antimatroides [3] y los politopos de transporte. [14]
Ver también
- Gráfico puntiagudo accesible
- Extensión de Alexandroff
- Recta numérica real extendida - Extensión de los reales por + ∞ y −∞.
- Esfera de Riemann - Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito
Referencias
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- ↑ a b c Mac Lane (1998) p.26
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enlaces externos
- Retrocesos en la categoría de conjuntos y funciones parciales
- Conjunto puntiagudo en PlanetMath .
- Objeto puntiagudo en nLab