Lema de Kac

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En teoría ergódica , el lema de Kac , demostrado por el matemático Mark Kac en 1947, ^[1] establece que en un espacio de medida la órbita de casi todos los puntos contenidos en un conjunto de dicho espacio, cuya medida es , retornar dentro de un tiempo promedio inversamente proporcional a . ^[2]${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu (A)}$

El lema amplía lo planteado por el teorema de recurrencia de Poincaré , en el que se muestra que los puntos regresan en tiempos infinitos. ^[3]${\ Displaystyle A}$

Dado que el espacio de fase de un sistema dinámico con variables y acotado , es decir, con todas las variables que tienen un mínimo y un máximo, es, para el teorema de Liouville , un espacio de medida, el lema implica que dada una configuración del sistema (punto del espacio ) el período de retorno promedio cercano a esta configuración (en la vecindad del punto) es inversamente proporcional al tamaño considerado del volumen que rodea la configuración. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Normalizando el espacio de medida a 1, se convierte en un espacio de probabilidad y la medida de su conjunto representa la probabilidad de encontrar el sistema en los estados representados por los puntos de ese conjunto. En este caso, el lema implica que cuanto menor es la probabilidad de estar en un estado determinado (o cerca de él), mayor es el tiempo de retorno cerca de ese estado. ^[4]${\ Displaystyle P (A)}$${\ Displaystyle A}$

En fórmulas, si es la región cercana al punto de partida y es el período de retorno, su valor promedio es:${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T_ {R}}$

${\ Displaystyle \ langle T_ {R} \ rangle = \ tau / P (A)}$

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