En física , el teorema de Liouville , que lleva el nombre del matemático francés Joseph Liouville , es un teorema clave en la mecánica estadística y hamiltoniana clásica . Afirma que la función de distribución del espacio de fase es constante a lo largo de las trayectorias del sistema , es decir, que la densidad de puntos del sistema en la vecindad de un punto del sistema dado que viaja a través del espacio de fase es constante con el tiempo. Esta densidad independiente del tiempo se conoce en mecánica estadística como probabilidad clásica a priori . [1]
Hay resultados matemáticos relacionados en topología simpléctica y teoría ergódica ; Los sistemas que obedecen al teorema de Liouville son ejemplos de sistemas dinámicos incompresibles .
Hay extensiones del teorema de Liouville a los sistemas estocásticos. [2]
Ecuaciones de Liouville
La ecuación de Liouville describe la evolución en el tiempo de la función de distribución del espacio de fase . Aunque la ecuación generalmente se conoce como la "ecuación de Liouville", Josiah Willard Gibbs fue el primero en reconocer la importancia de esta ecuación como la ecuación fundamental de la mecánica estadística. [3] [4] Se la conoce como la ecuación de Liouville porque su derivación para sistemas no canónicos utiliza una identidad derivada por primera vez por Liouville en 1838. [5] Considere un sistema dinámico hamiltoniano con coordenadas canónicas y conjugar momentos , dónde . Entonces la distribución del espacio de fase determina la probabilidad que el sistema se encontrará en el volumen del espacio de fase infinitesimal . La ecuación de Liouville gobierna la evolución de a tiempo :
Las derivadas de tiempo se indican con puntos y se evalúan de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton para el sistema. Esta ecuación demuestra la conservación de la densidad en el espacio de fase (que era el nombre de Gibbs para el teorema). El teorema de Liouville establece que
- La función de distribución es constante a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio de fase.
Una demostración del teorema de Liouville utiliza el teorema de divergencia n- dimensional . Esta prueba se basa en el hecho de que la evolución deobedece a una versión n- dimensional de la ecuación de continuidad :
Es decir, la tupla de 3 es una corriente conservada . Observe que la diferencia entre esta y la ecuación de Liouville son los términos
dónde es el hamiltoniano, y se han utilizado las ecuaciones de Hamilton, así como la conservación del hamiltoniano a lo largo del flujo. Es decir, viendo el movimiento a través del espacio de fase como un 'flujo fluido' de puntos del sistema, el teorema de que la derivada convectiva de la densidad,, es cero se sigue de la ecuación de continuidad al observar que el 'campo de velocidad' en el espacio de fase tiene divergencia cero (que se sigue de las relaciones de Hamilton). [6]
Otro ejemplo es considerar la trayectoria de una nube de puntos a través del espacio de fase. Es sencillo mostrar que a medida que la nube se extiende en una coordenada: decir - se encoge en el correspondiente dirección para que el producto permanece constante.
De manera equivalente, la existencia de una corriente conservada implica, a través del teorema de Noether , la existencia de una simetría . La simetría es invariante bajo traslaciones de tiempo, y el generador (o carga de Noether ) de la simetría es el hamiltoniano.
Otras formulaciones
Soporte de Poisson
El teorema anterior a menudo se reformula en términos del corchete de Poisson como
o, en términos del operador lineal de Liouville o Liouvillian ,
como
Teoría ergódica
En la teoría ergódica y los sistemas dinámicos , motivados por las consideraciones físicas dadas hasta ahora, hay un resultado correspondiente también conocido como teorema de Liouville. En la mecánica hamiltoniana , el espacio de fase es una variedad suave que viene naturalmente equipada con una medida suave (localmente, esta medida es la medida de Lebesgue 6 n- dimensional ). El teorema dice que esta medida suave es invariante bajo el flujo hamiltoniano . De manera más general, se puede describir la condición necesaria y suficiente bajo la cual una medida suave es invariante bajo un flujo [ cita requerida ] . El caso hamiltoniano se convierte entonces en un corolario.
Geometría simpléctica
También podemos formular el teorema de Liouville en términos de geometría simpléctica . Para un sistema dado, podemos considerar el espacio de fase de un particular hamiltoniano como un colector dotado de una simpléctica forma de 2
La forma de volumen de nuestro colector es la potencia exterior superior de la forma simpléctica de 2, y es solo otra representación de la medida en el espacio de fase descrito anteriormente.
En nuestra variedad simpléctica de espacio de fase podemos definir un campo vectorial hamiltoniano generado por una función como
Específicamente, cuando la función generadora es la propia hamiltoniana, , obtenemos
donde utilizamos las ecuaciones de movimiento de Hamilton y la definición de la regla de la cadena. [7]
En este formalismo, el teorema de Liouville establece que la derivada de Lie de la forma de volumen es cero a lo largo del flujo generado por. Es decir, para una variedad simpléctica bidimensional,
De hecho, la estructura simpléctica en sí mismo se conserva, no sólo su máximo poder exterior. Es decir, el teorema de Liouville también da [8]
Ecuación cuántica de Liouville
El análogo de la ecuación de Liouville en mecánica cuántica describe la evolución temporal de un estado mixto . La cuantificación canónica produce una versión mecánica cuántica de este teorema, la ecuación de Von Neumann . Este procedimiento, que se utiliza a menudo para diseñar análogos cuánticos de sistemas clásicos, implica describir un sistema clásico utilizando la mecánica hamiltoniana. Las variables clásicas se reinterpretan luego como operadores cuánticos, mientras que los corchetes de Poisson se reemplazan por conmutadores . En este caso, la ecuación resultante es [9] [10]
donde ρ es la matriz de densidad .
Cuando se aplica al valor esperado de un observable , la ecuación correspondiente viene dada por el teorema de Ehrenfest y toma la forma
dónde es un observable. Tenga en cuenta la diferencia de signo, que se deriva de la suposición de que el operador está estacionario y el estado depende del tiempo.
En la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, la sustitución de los paréntesis de Moyal por los paréntesis de Poisson en el análogo de espacio de fase de la ecuación de von Neumann da como resultado la compresibilidad del fluido de probabilidad y, por lo tanto, violaciones de la incompresibilidad del teorema de Liouville. Esto, entonces, conduce a dificultades concomitantes para definir trayectorias cuánticas significativas.
Ejemplos de
Volumen del espacio de fase SHO
Considere una sistema de partículas en tres dimensiones, y se centran sólo en la evolución de partículas. Dentro del espacio de fase, estos las partículas ocupan un volumen infinitesimal dado por
Queremos permanecer igual a lo largo del tiempo, de modo que es constante a lo largo de las trayectorias del sistema. Si permitimos que nuestras partículas evolucionen en un intervalo de tiempo infinitesimal, vemos que la ubicación del espacio de cada fase de la partícula cambia a medida que
dónde y denotar y respectivamente, y solo hemos mantenido los términos lineales en . Extendiendo esto a nuestro hipercubo infinitesimal, las longitudes de los lados cambian a medida que
Para encontrar el nuevo volumen de espacio de fase infinitesimal , necesitamos el producto de las cantidades anteriores. Al primer pedido en, obtenemos lo siguiente.
Hasta ahora, todavía tenemos que realizar especificaciones sobre nuestro sistema. Ahora nos especializamos en el caso de -osciladores armónicos isotrópicos dimensionales. Es decir, cada partícula de nuestro conjunto puede tratarse como un simple oscilador armónico . El hamiltoniano para este sistema viene dado por
Al usar las ecuaciones de Hamilton con el hamiltoniano anterior, encontramos que el término entre paréntesis anterior es idénticamente cero, lo que da como resultado
A partir de esto podemos encontrar el volumen infinitesimal del espacio de fase.
Por lo tanto, finalmente hemos encontrado que el volumen del espacio de fase infinitesimal no cambia, lo que produce
demostrar que el teorema de Liouville es válido para este sistema. [11]
La pregunta sigue siendo cómo evoluciona realmente el volumen del espacio de fase en el tiempo. Arriba hemos mostrado que el volumen total se conserva, pero no dijimos nada sobre su apariencia. Para una sola partícula, podemos ver que su trayectoria en el espacio de fase está dada por la elipse de constante. Explícitamente, uno puede resolver las ecuaciones de Hamilton para el sistema y encontrar
dónde y denotar la posición inicial y el impulso de la partícula. Para un sistema de partículas múltiples, cada una tendrá una trayectoria de espacio de fase que traza una elipse correspondiente a la energía de la partícula. La frecuencia a la que se traza la elipse viene dada poren el hamiltoniano, independientemente de cualquier diferencia de energía. Como resultado, una región del espacio de fase simplemente rotará alrededor del punto con frecuencia dependiente de . [12] Esto se puede ver en la animación de arriba.
Oscilador armónico amortiguado
Uno de los supuestos fundamentales del teorema de Liouville es que el sistema obedece a la conservación de la energía. En el contexto del espacio de fase, esto quiere decir que es constante en superficies de espacio de fase de energía constante . Si rompemos este requisito al considerar un sistema en el que no se conserva energía, encontramos que tampoco es constante.
Como ejemplo de esto, considere nuevamente el sistema de partículas cada una en un -potencial armónico isotrópico dimensional, cuyo hamiltoniano se da en el ejemplo anterior. Esta vez, agregamos la condición de que cada partícula experimente una fuerza de fricción. Como esta es una fuerza no conservadora , necesitamos extender las ecuaciones de Hamilton como
dónde es una constante positiva que dicta la cantidad de fricción. Siguiendo un procedimiento muy similar al caso del oscilador armónico no amortiguado, llegamos nuevamente a
Conectando nuestras ecuaciones de Hamilton modificadas, encontramos
Calculando nuestro nuevo volumen de espacio de fase infinitesimal, y manteniendo solo el primer orden en encontramos el siguiente resultado.
Hemos descubierto que el volumen del espacio de fase infinitesimal ya no es constante y, por lo tanto, la densidad del espacio de fase no se conserva. Como se puede ver en la ecuación a medida que aumenta el tiempo, esperamos que nuestro volumen de espacio de fase disminuya a cero a medida que la fricción afecte al sistema.
En cuanto a cómo evoluciona el volumen del espacio de fase en el tiempo, todavía tendremos la rotación constante como en el caso no amortiguado. Sin embargo, la amortiguación introducirá una disminución constante en los radios de cada elipse. Nuevamente, podemos resolver las trayectorias usando explícitamente las ecuaciones de Hamilton, teniendo cuidado de usar las modificadas arriba. Dejando por conveniencia, encontramos
donde los valores y denotar la posición inicial y el impulso de la partícula. A medida que el sistema evoluciona, el volumen total del espacio de fase entrará en espiral hasta el origen. Esto se puede ver en la figura anterior.
Observaciones
- La ecuación de Liouville es válida tanto para sistemas de equilibrio como para sistemas de no equilibrio. Es una ecuación fundamental de la mecánica estadística de no equilibrio .
- La ecuación de Liouville es parte integral de la demostración del teorema de fluctuación del cual se puede derivar la segunda ley de la termodinámica . También es el componente clave de la derivación de las relaciones Green-Kubo para los coeficientes de transporte lineal como la viscosidad de corte , la conductividad térmica o la conductividad eléctrica .
- Prácticamente cualquier libro de texto sobre mecánica hamiltoniana , mecánica estadística avanzada o geometría simpléctica derivará el teorema de Liouville. [13] [14] [15] [16] [17]
Ver también
- Algoritmo de propagación del sistema de referencia reversible (r-RESPA)
- Ecuación de transporte de Boltzmann
Referencias
- ^ Harald JW Müller-Kirsten, Fundamentos de la física estadística, 2a ed., World Scientific (Singapur, 2013)
- ↑ Kubo, Ryogo (1 de febrero de 1963). "Ecuaciones estocásticas de Liouville". Revista de Física Matemática . 4 (2): 174-183. Código bibliográfico : 1963JMP ..... 4..174K . doi : 10.1063 / 1.1703941 . ISSN 0022-2488 .
- ^ JW Gibbs, "Sobre la fórmula fundamental de la mecánica estadística, con aplicaciones a la astronomía y la termodinámica". Actas de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, 33 , 57–58 (1884). Reproducido en The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol II (1906), p. 16 .
- ^ Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales en mecánica estadística . Nueva York: Charles Scribner's Sons .
- ^ J. Liouville, Journ. de Math., 3, 342 (1838), [1] .
- ^ Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: Ecuación de Schrödinger y ruta integral, 2ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
- ^ Nakahara, Mikio (2003). Geometría, topología y física (2 ed.). Taylor & Francis Group. págs. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5.
- ^ Nash, Oliver (8 de enero de 2015). "Teorema de Liouville para pedantes" (PDF) .
- ^ La teoría de los sistemas cuánticos abiertos , por Breuer y Petruccione, p 110 .
- ^ Mecánica estadística , por Schwabl, p 16 .
- ^ Kardar, Mehran (2007). Física estadística de partículas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.
- ^ Eastman, Peter (2014-2015). "Evolución de las probabilidades de espacio de fase" .
- ^ Para una derivación particularmente clara, consulte Tolman, RC (1979). Los principios de la mecánica estadística . Dover. págs. 48–51. ISBN 9780486638966.
- ^ "Espacio de fase y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 .Casi idéntico a la prueba en este artículo de Wikipedia. Supone (sin prueba) la ecuación de continuidad n- dimensional.
- ^ "Preservación del volumen del espacio de fase y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 . Una prueba rigurosa basada en cómo el elemento de volumen jacobiano se transforma bajo la mecánica hamiltoniana.
- ^ "Física 127a: notas de clase" (PDF) . Consultado el 6 de enero de 2014 .Utiliza el teorema de divergencia n- dimensional (sin prueba).
- ^ Nash, Oliver (8 de enero de 2015). "Teorema de Liouville para pedantes" (PDF) . Consultado el 1 de octubre de 2015 . Prueba el teorema de Liouville utilizando el lenguaje de la geometría diferencial moderna.
Otras lecturas
- Murugeshan, R. Física moderna . S. Chand.
- Misner; Thorne; Wheeler (1973). "Teoría cinética en el espacio-tiempo curvo" . Gravitación . Hombre libre. págs. 583–590. ISBN 9781400889099.
enlaces externos
- "Funciones de distribución de espacio de fase y teorema de Liouville" .