Las conjeturas de Kaplansky
El matemático Irving Kaplansky se destaca por proponer numerosas conjeturas en varias ramas de las matemáticas, incluida una lista de diez conjeturas sobre álgebras de Hopf . Suelen conocerse como conjeturas de Kaplansky .
y la conjetura de la unidad de Kaplansky (que originalmente fue hecha por Graham Higman y popularizada por Kaplansky):
La conjetura del divisor cero implica la conjetura idempotente y está implícita en la conjetura unitaria. A partir de 2021, las conjeturas del divisor cero y del idempotente están abiertas. Sin embargo, la conjetura de la unidad fue refutada por campos de característica positiva por Giles Gardam en febrero de 2021: publicó una preimpresión en arXiv que construye un contraejemplo. [1] [2] [3] El campo es de característica 2. (ver también: grupo de Fibonacci )
Hay demostraciones de las conjeturas del idempotente y del divisor cero para grandes clases de grupos. Por ejemplo, se sabe que la conjetura del divisor cero se cumple para todos los grupos virtualmente solubles y, más generalmente, también para todos los grupos solubles libres de torsión residual. Estas soluciones pasan por establecer primero la conclusión de la conjetura de Atiyah sobre los números -Betti, de la que se sigue fácilmente la conjetura del divisor cero.
La conjetura idempotente tiene una generalización, la conjetura idempotente de Kadison , también conocida como conjetura de Kadison-Kaplansky, para elementos del grupo reducido C*-álgebra . En este contexto, se sabe que si la conjetura de Farrell-Jones se cumple para K [ G ] , también se cumple la conjetura idempotente. Este último se ha resuelto positivamente para una clase extremadamente grande de grupos, incluidos, por ejemplo, todos los grupos hiperbólicos .
También se sabe que la conjetura de la unidad se cumple en muchos grupos, pero sus soluciones parciales son mucho menos sólidas que las otras dos. Por ejemplo, hay un grupo cristalográfico tridimensional libre de torsión para el cual no se sabe si todas las unidades son triviales. No se sabe que esta conjetura se siga de ningún enunciado analítico como los otros dos, por lo que todos los casos en los que se sabe que se cumple se han establecido a través de un enfoque combinatorio directo que involucra la llamada propiedad de productos únicos. Por el trabajo de Gardam mencionado anteriormente, ahora se sabe que no es cierto en general.