Álgebra de grupo de un grupo localmente compacto

Este artículo trata sobre álgebras topológicas asociadas a grupos topológicos. Para el caso puramente algebraico (sin ninguna topología), consulte anillo de grupo .

Topological algebra associated to continuous groups

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el álgebra de grupo es cualquiera de las diversas construcciones para asignar a un grupo localmente compacto un álgebra de operadores (o más generalmente un álgebra de Banach ), de modo que las representaciones del álgebra estén relacionadas con las representaciones del grupo. Como tales, son similares al anillo de grupo asociado a un grupo discreto.

El álgebra C _c ( G ) de funciones continuas con soporte compacto

Si G es un grupo de Hausdorff localmente compacto , G lleva una medida de Borel sumamente numerable invariante a la izquierda esencialmente única μ llamada medida de Haar . Usando la medida de Haar, se puede definir una operación de convolución en el espacio C _c ( G ) de funciones continuas de valor complejo en G con soporte compacto ; A C _c ( G ) se le puede dar entonces cualquiera de varias normas y la finalización será un álgebra de grupo.

Para definir la operación de convolución, dejar que f y g sea dos funciones en C _c ( G ). Para t en G , defina

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

El hecho de que f * g sea ​​continua es inmediato del teorema de convergencia dominado . También

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

donde el punto representa el producto en G . C _c ( G ) también tiene una involución natural definida por:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

donde Δ es la función de modular en G . Con esta involución, es un * -álgebra .

Teorema. Con la norma:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) se convierte en un álgebra normada involutiva con una identidad aproximada .

La identidad aproximada se puede indexar sobre la base de la vecindad de la identidad que consta de conjuntos compactos. De hecho, si V es una vecindad compacta de la identidad, sea f _V una función continua no negativa soportada en V tal que

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

Entonces { f _V } _V es una identidad aproximada. Un álgebra de grupo tiene una identidad, a diferencia de una identidad aproximada, si y solo si la topología del grupo es la topología discreta .

Tenga en cuenta que para los grupos discretos, C _c ( G ) es lo mismo que el anillo de grupo complejo C [ G ].

La importancia del álgebra de grupos es que captura la teoría de la representación unitaria de G como se muestra a continuación.

Teorema. Sea G un grupo localmente compacto. Si U es una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio de Hilbert H , entonces

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

es una representación no degenerada acotada * del álgebra normada C _c ( G ). El mapa

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

es una biyección entre el conjunto de representaciones unitarias fuertemente continuas de G y representaciones acotadas * no degeneradas de C _c ( G ). Esta biyección respeta la equivalencia unitaria y la fuerte contención . En particular, π _U es irreducible si y solo si U es irreducible.

La no degeneración de una representación π de C _c ( G ) en un espacio de Hilbert H _π significa que

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

es denso en H _π .

El álgebra de convolución L ¹ ( G )

Es un teorema estándar de la teoría de la medida que la terminación de C _c ( G ) en la norma L ¹ ( G ) es isomórfica al espacio L ¹ ( G ) de clases de equivalencia de funciones que son integrables con respecto a la medida de Haar , donde, como es habitual, dos funciones se consideran equivalentes si y solo si difieren solo en un conjunto de medidas de Haar cero.

Teorema. L ¹ ( G ) es un álgebra de Banach * con el producto de convolución y la involución definidos anteriormente y con la norma L ¹ . L ¹ ( G ) también tiene una identidad aproximada acotada.

El grupo C * -álgebra C * ( G )

Deje C [ G ] ser el anillo de grupo de un grupo discreto G .

Para un grupo localmente compacto G , el grupo C * -álgebra C * ( G ) de G se define como el C * -algebra envolvente de L ¹ ( G ), es decir, la finalización de C _c ( G ) con respecto a la mayor C * -norm:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

donde π abarca todas las representaciones no degeneradas * de C _c ( G ) en los espacios de Hilbert. Cuando G es discreto, se sigue de la desigualdad del triángulo que, para cualquier π , uno tiene:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

de ahí que la norma esté bien definida.

De la definición se deduce que C * ( G ) tiene la siguiente propiedad universal : cualquier * -homomorfismo de C [ G ] a algún B ( H ) (el C * -álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert H ) factores a través del mapa de inclusión :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

El grupo reducido C * -álgebra C _r * ( G )

El grupo reducido C * -álgebra C _r * ( G ) es la terminación de C _c ( G ) con respecto a la norma

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

donde

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

es la norma L ² . Dado que la terminación de C _c ( G ) con respecto a la norma L ² es un espacio de Hilbert, la norma C _r * es la norma del operador acotado que actúa sobre L ² ( G ) por convolución con f y, por tanto, C * - norma.

De manera equivalente, C _r * ( G ) es el C * -álgebra generada por la imagen de la representación regular izquierda en ℓ ² ( G ).

En general, C _r * ( G ) es un cociente de C * ( G ). El álgebra del grupo C * reducido es isomórfico al álgebra del grupo C * no reducido definido anteriormente si y solo si G es susceptible .

álgebras de von Neumann asociadas a grupos

El grupo álgebra de von Neumann W * ( G ) de G es el álgebra envolvente de von Neumann de C * ( G ).

Para un grupo discreto G , podemos considerar el espacio de Hilbert ℓ ² ( G ) para el cual G es una base ortonormal . Dado que G opera en ℓ ² ( G ) permutando los vectores base, podemos identificar el anillo de grupo complejo C [ G ] con una subálgebra del álgebra de operadores acotados en ℓ ² ( G ). El cierre débil de esta subálgebra, NG , es un álgebra de von Neumann .

El centro de NG se puede describir en términos de aquellos elementos de G cuya clase de conjugación es finita. En particular, si el elemento de identidad de G es el único elemento de grupo con esa propiedad (es decir, G tiene la propiedad de clase de conjugación infinita ), el centro de NG consta solo de múltiplos complejos de la identidad.

NG es isomórfico al factor hiperfinito de tipo II 1 si y solo si G es contable , susceptible de ser tratado y tiene la propiedad de clase de conjugación infinita.

Ver también

• Álgebra gráfica
• Álgebra de incidencia
• Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto
• Álgebra de caminos
• Álgebra grupoide
• Álgebra de estereotipos
• Álgebra de grupos de estereotipos
• Álgebra de Hopf

Notas

Referencias

• Lang, S. (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. Saltador. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, EB (2003). Un curso de álgebra . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 56 . doi : 10.1090 / gsm / 056 . ISBN 978-0-8218-3318-6.
• Dixmier, J. (2003). C * -álgebras . Holanda Septentrional. ISBN 978-0444557476.
• Kirillov, AA (1976). Elementos de la teoría de las representaciones . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . Saltador. ISBN 978-3-642-66243-0.
• Loomis, LH (2011). Introducción al análisis armónico abstracto . Libros de Dover sobre matemáticas . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0486481234.
• AI Shtern (2001) [1994], "Álgebra de grupo de un grupo localmente compacto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press Este artículo incorpora material del Grupo $ C ^ * $ - álgebra en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .