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En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que estudia grupos infinitos , el adverbio se usa virtualmente para modificar una propiedad de modo que solo sea necesario para un subgrupo de índice finito . Dada una propiedad P, se dice que el grupo G es virtualmente P si hay un subgrupo de índice finitotal que H tiene la propiedad P.
Los usos comunes de esto serían cuando P es abeliano , nilpotente , soluble o libre . Por ejemplo, los grupos virtualmente solubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tits , mientras que el teorema de Gromov establece que los grupos generados finitamente con crecimiento polinomial son precisamente los grupos virtualmente nilpotentes generados finitamente.
Esta terminología también se usa cuando P es simplemente otro grupo. Es decir, si G y H son grupos entonces G es prácticamente H si G tiene un subgrupo K de índice finito en G tal que K es isomorfo a H .
En particular, un grupo es virtualmente trivial si y solo si es finito. Dos grupos son prácticamente iguales si y solo si son conmensurables .
Ejemplos de
Virtualmente abeliano
Los siguientes grupos son prácticamente abelianos.
- Cualquier grupo abeliano.
- Cualquier producto semidirecto donde N es abeliano y H es finito. (Por ejemplo, cualquier grupo diedro generalizado ).
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es abeliano.
- Cualquier grupo finito (ya que el subgrupo trivial es abeliano).
Prácticamente nilpotente
- Cualquier grupo que sea virtualmente abeliano.
- Cualquier grupo nilpotente.
- Cualquier producto semidirecto donde N es nilpotente y H es finito.
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es nilpotente.
El teorema de Gromov dice que un grupo generado finita es virtualmente nilpotente si y solo si tiene un crecimiento polinomial.
Prácticamente policíclico
Virtualmente gratis
- Cualquier grupo libre .
- Cualquier grupo virtualmente cíclico.
- Cualquier producto semidirecto donde N es libre y H es finito.
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es libre.
- Cualquier producto gratis , donde H y K son ambos finitos. (Por ejemplo, el grupo modular .)
Se deduce del teorema de Stalling que cualquier grupo virtualmente libre de torsión es libre.
Otros
El grupo libre en 2 generadores es virtualmente para cualquier como consecuencia del teorema de Nielsen-Schreier y la fórmula del índice de Schreier .
El grupo está virtualmente conectado como tiene el índice 2.
Referencias
- Schneebeli, Hans Rudolf (1978). "Sobre propiedades virtuales y extensiones de grupo". Mathematische Zeitschrift . 159 : 159-167. doi : 10.1007 / bf01214488 . Zbl 0358.20048 .