En mecánica de fluidos , el teorema de la circulación de Kelvin (llamado así por William Thomson, primer barón Kelvin, quien lo publicó en 1869) establece En un fluido ideal barotrópico con fuerzas corporales conservadoras, la circulación alrededor de una curva cerrada (que encierra los mismos elementos fluidos) se mueve con el el fluido permanece constante con el tiempo . [1] [2] Expresado matemáticamente:
dónde es la circulación alrededor de un contorno de material. Dicho de manera más simple, este teorema dice que si uno observa un contorno cerrado en un instante y sigue el contorno a lo largo del tiempo (siguiendo el movimiento de todos sus elementos fluidos), la circulación sobre las dos ubicaciones de este contorno es igual.
Este teorema no es válido en casos con tensiones viscosas, fuerzas corporales no conservadoras (por ejemplo, una fuerza de Coriolis ) o relaciones de presión-densidad no barotrópicas.
Prueba matemática
La circulacion alrededor de un contorno de material cerrado es definido por:
donde u es el vector de velocidad y ds es un elemento a lo largo del contorno cerrado.
La ecuación que rige para un fluido no viscoso con una fuerza corporal conservadora es
donde D / D t es la derivada convectiva , ρ es la densidad del fluido, p es la presión y Φ es el potencial de la fuerza del cuerpo. Estas son las ecuaciones de Euler con una fuerza corporal.
La condición de barotropicidad implica que la densidad es una función solo de la presión, es decir .
Tomando la derivada convectiva de la circulación da
Para el primer término, sustituimos de la ecuación gobernante y luego aplicamos el teorema de Stokes , así:
La igualdad final surge desde debido a la barotropicidad. También hemos hecho uso del hecho de que la curvatura de cualquier gradiente es necesariamente 0, o para cualquier función .
Para el segundo término, observamos que la evolución del elemento de línea material viene dada por
Por eso
La última igualdad se obtiene aplicando el teorema del gradiente .
Dado que ambos términos son cero, obtenemos el resultado
Teorema de la circulación de Poincaré-Bjerknes
Un principio similar que conserva una cantidad también se puede obtener para el marco giratorio, conocido como el teorema de Poincaré-Bjerknes, llamado así por Henri Poincaré y Vilhelm Bjerknes , quienes derivaron el invariante en 1893 [3] [4] y 1898. [5] [6] El teorema se puede aplicar a un marco giratorio que gira a una velocidad angular constante dada por el vector, para la circulación modificada
Aquí es la posición del área de fluido. Del teorema de Stokes , esto es:
Ver también
Notas
- ^ Katz, Plotkin: Aerodinámica de baja velocidad
- ^ Kundu, P y Cohen, I: Mecánica de fluidos , página 130. Academic Press 2002
- ↑ Poincaré, H. (1893). Théorie des tourbillons: Leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Gauthier-Villars. Artículo 158
- ^ Truesdell, C. (2018). La cinemática de la vorticidad. Publicaciones de Courier Dover.
- ^ Bjerknes, V., Rubenson, R. y Lindstedt, A. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Kungl. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
- ↑ Chandrasekhar, S. (2013). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética. Corporación de mensajería.