El teorema del gradiente , también conocido como el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea , dice que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva. El teorema es una generalización del teorema fundamental del cálculo a cualquier curva en un plano o espacio (generalmente n- dimensional) en lugar de solo la línea real.
Sea φ : U ⊆ ℝ n → ℝ una función continuamente diferenciable y γ cualquier curva en U que comience en py termine en q . Luego
(donde ∇ φ denota el campo vectorial de gradiente de φ ).
El teorema del gradiente implica que las integrales de línea a través de campos de gradiente son independientes de la trayectoria . En física, este teorema es una de las formas de definir una fuerza conservadora . Al colocar φ como potencial, ∇ φ es un campo conservador . El trabajo realizado por fuerzas conservadoras no depende del camino seguido por el objeto, sino solo de los puntos finales, como muestra la ecuación anterior.
El teorema del gradiente también tiene un inverso interesante: cualquier campo vectorial independiente de la trayectoria se puede expresar como el gradiente de un campo escalar . Al igual que el propio teorema del gradiente, este inverso tiene muchas consecuencias y aplicaciones sorprendentes tanto en matemáticas puras como aplicadas.
Prueba
Si φ es una función diferenciable de algún subconjunto abierto U (de ℝ n ) a ℝ , y si r es una función diferenciable de algún intervalo cerrado [ a , b ] a U , entonces por la regla de la cadena multivariante , la función compuesta φ ∘ r es diferenciable en ( a , b ) y
para todo t en ( a , b ) . Aquí el ⋅ denota el producto interno habitual .
Ahora supongamos que el dominio T de φ contiene el diferenciable curva γ con puntos finales de un y b , ( orientada en la dirección de una a b ). Si r parametriza γ para t en [ a , b ] , entonces lo anterior muestra que [1]
donde la definición de la integral de línea se usa en la primera igualdad, y el teorema fundamental del cálculo se usa en la tercera igualdad
Ejemplos de
Ejemplo 1
Suponga que γ ⊂ ℝ 2 es el arco circular orientado en sentido antihorario desde (5, 0) a (−4, 3) . Usando la definición de una integral de línea ,
Este resultado se puede obtener mucho más simplemente al notar que la función tiene gradiente , por lo que según el teorema del gradiente:
Ejemplo 2
Para un ejemplo más abstracto, suponga que γ ⊂ ℝ n tiene extremos p , q , con orientación de p a q . Para u en ℝ n , sea | u | denotar la norma euclidiana de u . Si α ≥ 1 es un número real, entonces
Aquí la igualdad final sigue el teorema del gradiente, ya que la función f ( x ) = | x | α +1 es diferenciable en ℝ n si α ≥ 1 .
Si α <1 , esta igualdad se mantendrá en la mayoría de los casos, pero se debe tener cuidado si γ pasa a través o encierra el origen, porque el campo del vector integrando | x | α - 1 x no se podrá definir allí. Sin embargo, el caso α = −1 es algo diferente; en este caso, el integrando se convierte en | x | −2 x = ∇ (log | x |) , de modo que la igualdad final se convierte en log | q | - registro | p | .
Tenga en cuenta que si n = 1 , entonces este ejemplo es simplemente una ligera variante de la conocida regla de potencia del cálculo de una sola variable.
Ejemplo 3
Suponga que hay n cargas puntuales dispuestas en un espacio tridimensional, y la i -ésima carga puntual tiene una carga Q i y está ubicada en la posición p i en ℝ 3 . Nos gustaría calcular el trabajo realizado sobre una partícula de carga q cuando viaja desde un punto a hasta un punto b en ℝ 3 . Usando la ley de Coulomb , podemos determinar fácilmente que la fuerza sobre la partícula en la posición r será
Aquí | u | denota la norma euclidiana del vector u en ℝ 3 , y k = 1 / (4 πε 0 ) , donde ε 0 es la permitividad del vacío .
Sea γ ⊂ ℝ 3 - { p 1 , ..., p n } una curva diferenciable arbitraria de a a b . Entonces el trabajo realizado en la partícula es
Ahora, para cada i , el cálculo directo muestra que
Por lo tanto, continuando desde arriba y usando el teorema del gradiente,
Terminamos. Por supuesto, podríamos haber completado fácilmente este cálculo utilizando el poderoso lenguaje del potencial electrostático o la energía potencial electrostática (con las fórmulas familiares W = −Δ U = - q Δ V ). Sin embargo, todavía no hemos definido la energía potencial o potencial, porque se requiere lo contrario del teorema del gradiente para demostrar que estas son funciones diferenciables bien definidas y que estas fórmulas son válidas ( ver más abajo ). Por lo tanto, hemos resuelto este problema utilizando solo la ley de Coulomb, la definición de trabajo y el teorema del gradiente.
Inverso del teorema del gradiente
El teorema del gradiente establece que si el campo vectorial F es el gradiente de alguna función con valores escalares (es decir, si F es conservadora ), entonces F es un campo vectorial independiente de la trayectoria (es decir, la integral de F sobre alguna curva diferenciable por partes depende solo de los puntos finales). Este teorema tiene un inverso poderoso:
Si F es un campo vectorial independiente de la trayectoria, entonces F es el gradiente de alguna función con valores escalares. [2]
Es sencillo mostrar que un campo vectorial es independiente de la ruta si y solo si la integral del campo vectorial sobre cada bucle cerrado en su dominio es cero. Por lo tanto, lo contrario se puede establecer alternativamente de la siguiente manera: si la integral de F sobre cada lazo cerrado en el dominio de F es cero, entonces F es el gradiente de alguna función con valores escalares.
Prueba de lo contrario |
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Supongamos que U es un abierto , trayectoria-conectado subconjunto de ℝ n , y F : T → ℝ n es un continuo campo de vector y la ruta independiente. Arregle algún elemento a de U , y defina f : U → ℝ por Aquí γ [ un , x ] es cualquier (diferenciable) curva en U que se origina en una y que termina en x . Sabemos que f está bien definido porque F es independiente de la trayectoria. Sea v cualquier vector distinto de cero en ℝ n . Por la definición de la derivada direccional , Para calcular la integral dentro del límite final, debemos parametrizar γ [ x , x + t v ] . Dado que F es independiente de la ruta, U está abierta y t se acerca a cero, podemos suponer que esta ruta es una línea recta y parametrizarla como u ( s ) = x + s v para 0 < s < t . Ahora, dado que u ' ( s ) = v , el límite se convierte en Por tanto, tenemos una fórmula para ∂ v f , donde v es arbitrario. Sea x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) y sea e i el i -ésimo vector base estándar , de modo que Por lo tanto, hemos encontrado una función f con valores escalares cuyo gradiente es el campo vectorial F independiente de la trayectoria , como se desea. [2] |
Ejemplo del principio inverso
Para ilustrar el poder de este principio inverso, citamos un ejemplo que tiene importantes consecuencias físicas . En el electromagnetismo clásico , la fuerza eléctrica es una fuerza independiente de la trayectoria; es decir, el trabajo realizado en una partícula que ha vuelto a su posición original dentro de un campo eléctrico es cero (suponiendo que no haya campos magnéticos cambiantes ).
Por lo tanto, lo anterior teorema implica que la eléctrica campo de fuerza F e : S → ℝ 3 es conservador (aquí S es algún abierta , trayectoria-conectado subconjunto de ℝ 3 que contiene una carga de distribución). Siguiendo las ideas de la demostración anterior, podemos establecer algún punto de referencia a en S , y definir una función U e : S → ℝ por
Usando la prueba anterior, sabemos que U e está bien definido y es diferenciable, y F e = −∇ U e (de esta fórmula podemos usar el teorema del gradiente para derivar fácilmente la conocida fórmula para calcular el trabajo realizado por fuerzas conservadoras: W = -Δ U ). Esta función U e se denomina a menudo energía potencial electrostática del sistema de cargas en S (con referencia al cero de potencial a ). En muchos casos, el dominio S se supone que es ilimitada y el punto de referencia una se toma para ser "infinito", que puede estar hecho rigurosa usando técnicas limitantes. Esta función U e es una herramienta indispensable utilizada en el análisis de muchos sistemas físicos.
Generalizaciones
Muchos de los teoremas críticos del cálculo vectorial se generalizan elegantemente a enunciados sobre la integración de formas diferenciales en variedades . En el lenguaje de las formas diferenciales y las derivadas exteriores , el teorema del gradiente establece que
para cualquier forma 0 , ϕ , definida en alguna curva diferenciable γ ⊂ ℝ n (aquí se entiende que la integral de ϕ sobre el límite de γ es la evaluación de ϕ en los extremos de γ ).
Observe la sorprendente similitud entre este enunciado y la versión generalizada del teorema de Stokes , que dice que la integral de cualquier forma diferencial con soporte compacto ω sobre el límite de alguna variedad orientable Ω es igual a la integral de su derivada exterior d ω sobre el todo de Ω , es decir,
Esta poderosa declaración es una generalización del teorema del gradiente de formas 1 definidas en variedades unidimensionales a formas diferenciales definidas en variedades de dimensión arbitraria.
El enunciado inverso del teorema del gradiente también tiene una poderosa generalización en términos de formas diferenciales en variedades. En particular, suponga que ω es una forma definida en un dominio contráctil , y la integral de ω sobre cualquier variedad cerrada es cero. Entonces existe una forma ψ tal que ω = d ψ . Así, en un dominio contractible, toda forma cerrada es exacta . Este resultado se resume en el lema de Poincaré .
Ver también
- Función estatal
- Potencial escalar
- Teorema de la curva de Jordan
- Diferencial de una función
- Mecanica clasica
- Integral de línea § Independencia de la ruta
- Campo vectorial conservador § Independencia de la ruta
Referencias
- ^ Williamson, Richard y Trotter, Hale. (2004). Matemáticas multivariables, cuarta edición, pág. 374. Pearson Education, Inc.
- ^ a b "Williamson, Richard y Trotter, Hale. (2004). Matemáticas multivariables, cuarta edición , p. 410. Pearson Education, Inc."