El teorema de Stokes , [1] también conocido como teorema de Kelvin-Stokes [2] [3] después de Lord Kelvin y George Stokes , el teorema fundamental de los rizos o simplemente el teorema del rizo , [4] es un teorema en cálculo vectorial en. Dado un campo vectorial , el teorema relaciona la integral de la curva del campo vectorial sobre alguna superficie con la integral de línea del campo vectorial alrededor del límite de la superficie. El teorema clásico de Stokes se puede enunciar en una oración: la integral de línea de un campo vectorial sobre un bucle es igual al flujo de su rizo a través de la superficie encerrada.
El teorema de Stokes es un caso especial del teorema de Stokes generalizado . [5] [6] En particular, un campo vectorial ense puede considerar como una forma 1, en cuyo caso su rizo es su derivado exterior , una forma 2.
Teorema
Dejar ser una superficie lisa orientada en R 3 con límite. Si un campo vectorialestá definido y tiene derivadas parciales continuas de primer orden en una región que contiene, luego
Más explícitamente, la igualdad dice que
El principal desafío en una declaración precisa del teorema de Stokes es definir la noción de límite. Se sabe que superficies como el copo de nieve de Koch , por ejemplo, no presentan un límite integrable de Riemann, y la noción de medida de superficie en la teoría de Lebesgue no puede definirse para una superficie que no sea de Lipschitz . Una técnica (avanzada) consiste en pasar a una formulación débil y luego aplicar la maquinaria de la teoría de la medida geométrica ; para ese enfoque, consulte la fórmula de coarea . En este artículo, en cambio, usamos una definición más elemental, basada en el hecho de que se puede discernir un límite para subconjuntos dimensionales completos de R 2 .
Sea γ : [ a , b ] → R 2 una curva plana de Jordan suave a trozos . El teorema de la curva de Jordan implica que γ divide R 2 en dos componentes, uno compacto y otro no compacto. Sea D la parte compacta; entonces D está acotado por γ . Ahora es suficiente transferir esta noción de límite a lo largo de un mapa continuo a nuestra superficie en R 3 . Pero ya tenemos un mapa de este tipo: la parametrización de Σ .
Suponga que ψ : D → R 3 es suave, con Σ = ψ ( D ) . Si Γ es la curva espacial definida por Γ ( t ) = ψ ( γ ( t )) , [nota 1] entonces llamamos Γ el límite de Σ , escrito ∂Σ .
Con la notación anterior, si F es cualquier campo vectorial suave en R 3 , entonces [7] [8]
Prueba
La demostración del teorema consta de 4 pasos. Asumimos el teorema de Green , por lo que lo que importa es cómo reducir el problema tridimensional complicado (teorema de Stokes) a un problema rudimentario bidimensional (teorema de Green). [9] Al probar este teorema, los matemáticos normalmente lo deducen como un caso especial de un resultado más general , que se expresa en términos de formas diferenciales y se demuestra utilizando maquinaria más sofisticada. Si bien son poderosas, estas técnicas requieren una base sustancial, por lo que la siguiente prueba las evita y no presupone ningún conocimiento más allá de una familiaridad con el cálculo vectorial básico. [8] Al final de esta sección, se da una breve demostración alternativa del teorema de Stokes, como corolario del teorema de Stokes generalizado.
Prueba elemental
Primer paso de la demostración (parametrización de integral)
Como en § Teorema , reducimos la dimensión usando la parametrización natural de la superficie. Sean ψ y γ como en esa sección, y observe que por cambio de variables
donde Jψ representa la matriz jacobiana de ψ .
Ahora sea { e u , e v } una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de R 2 . Reconociendo que las columnas de J y ψ son precisamente las derivadas parciales de ψ en y , podemos expandir la ecuación anterior en coordenadas como
Segundo paso en la prueba (definir el retroceso)
El paso anterior sugiere que definamos la función
Este es el retroceso de F a lo largo de ψ y, por lo anterior, satisface
Hemos reducido con éxito un lado del teorema de Stokes a una fórmula bidimensional; ahora pasamos al otro lado.
Tercer paso de la demostración (segunda ecuación)
Primero, calcule las derivadas parciales que aparecen en el teorema de Green , mediante la regla del producto :
Convenientemente, el segundo término se desvanece en la diferencia, por igualdad de parciales mixtos . Entonces,
Pero ahora considere la matriz en esa forma cuadrática, es decir, . Afirmamos que esta matriz de hecho describe un producto cruzado.
Para ser precisos, dejemos ser una matriz arbitraria de 3 × 3 y dejar
Tenga en cuenta que x ↦ a × x es lineal, por lo que está determinado por su acción sobre los elementos base. Pero por cálculo directo
Entonces ( A - A T ) x = a × x para cualquier x . Sustituyendo J F para A , se obtiene
Ahora podemos reconocer la diferencia de parciales como un producto triple (escalar) :
Por otro lado, la definición de integral de superficie también incluye un producto triple, ¡el mismo!
Entonces, obtenemos
Cuarto paso de la demostración (reducción al teorema de Green)
La combinación del segundo y tercer paso y luego la aplicación del teorema de Green completa la demostración.
Prueba a través de formas diferenciales
R → R 3 se puede identificar con las formas diferenciales 1 en R 3 a través del mapa
- .
Escribe el diferencial 1-forma asociada a una función F como ω F . Entonces uno puede calcular eso
donde ★ es la estrella de Hodge yes la derivada exterior . Así, según el teorema de Stokes generalizado , [10]
Aplicaciones
En dinámica de fluidos
En esta sección, discutiremos el campo vectorial laminar basado en el teorema de Stokes.
Campos Irrotacionales
Definición 2-1 (campo de irrigación). Un campo vectorial uniforme F en un U ⊆ R 3 abierto es irrotacional si ∇ × F = 0 .
Si el dominio de F está simplemente conectado , entonces F es un campo vectorial conservador .
Teoremas de Helmholtz
En esta sección, presentaremos un teorema que se deriva del teorema de Stokes y caracteriza los campos vectoriales libres de vórtices. En dinámica de fluidos se le llama teoremas de Helmholtz .
Teorema 2-1 (teorema de Helmholtz en dinámica de fluidos). [5] [3] : 142 Sea U ⊆ R 3 un subconjunto abierto con un campo vectorial laminar F y sea c 0 , c 1 : [0, 1] → U bucles suaves por partes. Si hay una función H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que
- [TLH0] H es suave a trozos,
- [TLH1] H ( t , 0) = c 0 ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
- [TLH2] H ( t , 1) = c 1 ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
- [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) para todo s ∈ [0, 1] .
Luego,
Algunos libros de texto como Lawrence [5] llaman a la relación entre c 0 y c 1 establecida en el teorema 2-1 como "homotópica" y la función H : [0, 1] × [0, 1] → U como "homotopía entre c 0 y c 1 ". Sin embargo, "homotópico" u "homotopía" en el sentido mencionado anteriormente son definiciones diferentes (más fuertes que) típicas de "homotópico" u "homotopía"; la última omite la condición [TLH3]. Así que de ahora en adelante nos referiremos a la homotopía (homótopo) en el sentido del teorema 2-1 como una homotopía tubular (resp. Tubular-homotópica) . [nota 2]
Prueba del teorema
En lo que sigue, abusamos de la notación y usamos " + " para la concatenación de caminos en el grupoide fundamental y " - " para invertir la orientación de un camino.
Sea D = [0, 1] × [0, 1] , y divida ∂ D en cuatro segmentos de línea γ j .
así que eso
Suponiendo que c 1 y c 2 son homotópicos lisos a trozos, hay una homotopía lisa a trozos H : D → M
Deje S ser la imagen de D bajo H . Que
se sigue inmediatamente del teorema de Stokes. F es laminar, por lo que el lado izquierdo desaparece, es decir
Como H es tubular, Γ 2 = −Γ 4 . Por lo tanto, las integrales de línea a lo largo de Γ 2 ( s ) y Γ 4 ( s ) se cancelan, dejando
Por otro lado, c 1 = Γ 1 y c 3 = −Γ 3 , por lo que la igualdad deseada sigue casi de inmediato.
Fuerzas conservadoras
El teorema de Helmholtz da una explicación de por qué el trabajo realizado por una fuerza conservadora al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria. Primero, presentamos el Lema 2-2, que es un corolario y un caso especial del teorema de Helmholtz.
Lema 2-2. [5] [6] Let U ⊆ R 3 sea un abierto subconjunto , con un campo de vector de láminas F y una suave por partes bucle c 0 : [0, 1] → U . Fijar un punto p ∈ U , si hay una homotopía (homotopía en forma de tubo) H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que
- [SC0] H es suave a trozos ,
- [SC1] H ( t , 0) = c 0 ( t ) para todo t ∈ [0, 1],
- [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1],
- [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todos los s ∈ [0, 1].
Luego,
El lema 2-2 se sigue del teorema 2-1. En el Lema 2-2, la existencia de H que satisface [SC0] a [SC3] es crucial. Si U está simplemente conectado, tal H existe. La definición de espacio simplemente conectado es la siguiente:
Definición 2-2 (espacio simplemente conectado). [5] [6] Sea M ⊆ R n no vacío y conectado a una ruta . M se llama simplemente conectado si y solo si para cualquier bucle continuo, c : [0, 1] → M existe una homotopía tubular continua H : [0, 1] × [0, 1] → M desde c hasta un punto fijo p ∈ c ; es decir,
- [SC0 '] H es continuo ,
- [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) para todo t ∈ [0, 1],
- [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1],
- [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todos los s ∈ [0, 1].
La afirmación de que "para una fuerza conservadora, el trabajo realizado para cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria" podría parecer que sigue inmediatamente. Pero recuerde que la conexión simple sólo garantiza la existencia de una homotopía continua que satisface [SC1-3]; en su lugar, buscamos una homotopía suave a trozos que satisfaga esas condiciones.
Sin embargo, la brecha en la regularidad se resuelve mediante el teorema de aproximación de Whitney . [6] : 136,421 [11] Por tanto, obtenemos el siguiente teorema.
Teorema 2-2. [5] [6] Let U ⊆ R 3 sea abierto y simplemente conectado con un campo vectorial irrotacional F . Para todos los bucles suaves por partes c : [0, 1] → U
Ecuaciones de Maxwell
En la física del electromagnetismo , el teorema de Stokes proporciona la justificación para la equivalencia de la forma diferencial de la ecuación de Maxwell-Faraday y la ecuación de Maxwell-Ampère y la forma integral de estas ecuaciones. Para la ley de Faraday, el teorema de Stokes se aplica al campo eléctrico,.
Para la ley de Ampère, el teorema de Stokes se aplica al campo magnético, .
Notas
- ^ Γ puede no ser una curva de Jordan , si el bucle γ interactúa mal con ψ . No obstante, Γ es siempre un bucle y, topológicamente, una suma conectada de muchas curvas de Jordan numerables , de modo que las integrales están bien definidas.
- ^ Existen libros de texto que usan los términos "homotopía" y "homotópico" en el sentido del Teorema 2-1. [5] De hecho, esto es muy conveniente para el problema específico de las fuerzas conservadoras. Sin embargo, ambos usos de la homotopía aparecen con suficiente frecuencia que se necesita algún tipo de terminología para eliminar la ambigüedad, y el término "homotopía tubular" adoptado aquí sirve bastante bien para ese fin.
Referencias
- ^ Stewart, James (2012). Cálculo - Primeros trascendentales (7ª ed.). Brooks / Cole Cengage Learning. pag. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
- ^ Nagayoshi Iwahori , et al .:"Bi - Bun - Seki - Bun - Gaku " Sho-Ka-Bou (jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (escrito en japonés)
- ↑ a b Atsuo Fujimoto; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)" Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (escrito en japonés)
- ^ Griffiths, David (2013). Introducción a la electrodinámica . Pearson. pag. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
- ^ a b c d e f g Conlon, Lawrence (2008). Colectores diferenciables . Clásicos modernos de Birkhauser. Boston: Birkhaeuser.
- ^ a b c d e Lee, John M. (2002). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 218 . Saltador.
- ^ Stewart, James (2010). Cálculo esencial: principios trascendentales . Col.
- ^ a b Robert Scheichl, notas de la conferencia del curso de matemáticas de la Universidad de Bath [3]
- ^ Colley, Susan Jane (2002). Cálculo vectorial (4ª ed.). Boston: Pearson. págs. 500–3.
- ^ Edwards, Harold M. (1994). Cálculo avanzado: un enfoque de formas diferenciales . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
- ^ LS Pontryagin, variedades suaves y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía, traducciones de la American Mathematical Society, Ser. 2, vol. 11, American Mathematical Society , Providence, RI, 1959, págs. 1-114. SEÑOR0115178 (22 # 5980 [4] ). Vea los teoremas 7 y 8.