En óptica , la ecuación de difracción de Fraunhofer se usa para modelar la difracción de ondas cuando el patrón de difracción se ve a una gran distancia del objeto difractante (en la región de campo lejano), y también cuando se ve en el plano focal de un lente de imagen . [1] [2] En contraste, el patrón de difracción creado cerca del objeto (en la región de campo cercano ) viene dado por la ecuación de difracción de Fresnel .
La ecuación fue nombrada en honor a Joseph von Fraunhofer [3] aunque él no participó en el desarrollo de la teoría. [ cita requerida ]
Este artículo explica dónde se puede aplicar la ecuación de Fraunhofer y muestra la forma del patrón de difracción de Fraunhofer para varias aperturas. En la ecuación de difracción de Fraunhofer se ofrece un tratamiento matemático detallado de la difracción de Fraunhofer .
Ecuación
Cuando un haz de luz está parcialmente bloqueado por un obstáculo, parte de la luz se dispersa alrededor del objeto, a menudo se ven bandas claras y oscuras en el borde de la sombra; este efecto se conoce como difracción. [4] Estos efectos se pueden modelar utilizando el principio de Huygens-Fresnel . Huygens postuló que cada punto en un frente de onda primario actúa como una fuente de ondas secundarias esféricas y la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en curso en cualquier momento posterior. Fresnel desarrolló una ecuación utilizando las ondas de Huygens junto con el principio de superposición de ondas, que modela bastante bien estos efectos de difracción.
No es sencillo calcular el desplazamiento (amplitud) dado por la suma de las ondas secundarias, cada una de las cuales tiene su propia amplitud y fase, ya que esto implica la adición de muchas ondas de fase y amplitud variables. Cuando se suman dos ondas, el desplazamiento total depende tanto de la amplitud como de la fase de las ondas individuales: dos ondas de igual amplitud que están en fase dan un desplazamiento cuya amplitud es el doble de las amplitudes de onda individuales, mientras que dos ondas que están en las fases opuestas dan un desplazamiento cero. Generalmente, se debe resolver una integral bidimensional sobre variables complejas y, en muchos casos, no se dispone de una solución analítica. [5]
La ecuación de difracción de Fraunhofer es una versión simplificada de la fórmula de difracción de Kirchhoff y se puede utilizar para modelar la luz difractada cuando tanto una fuente de luz como un plano de observación (el plano de observación) están efectivamente en el infinito con respecto a una apertura de difracción. [6] Con la fuente de luz suficientemente distante de la apertura, la luz incidente hacia la apertura es una onda plana de modo que la fase de la luz en cada punto de la apertura es la misma. La fase de las contribuciones de las ondículas individuales en la apertura varía linealmente con la posición en la apertura, lo que hace que el cálculo de la suma de las contribuciones sea relativamente sencillo en muchos casos.
Con una fuente de luz distante de la apertura, la aproximación de Fraunhofer se puede utilizar para modelar el patrón difractado en un plano de observación distante de la apertura ( campo lejano ). Prácticamente se puede aplicar al plano focal de una lente positiva.
Campo lejano
La difracción de Fraunhofer ocurre cuando:
|
- tamaño de apertura o hendidura, - longitud de onda, - distancia desde la apertura |
Cuando la distancia entre la apertura y el plano de observación (en el que se observa el patrón difractado) es lo suficientemente grande como para que las longitudes de la trayectoria óptica desde los bordes de la apertura hasta un punto de observación difieran mucho menos que la longitud de onda de la luz, entonces Las rutas de propagación para ondas individuales desde cada punto de la apertura hasta el punto de observación pueden tratarse como paralelas. Esto a menudo se conoce como campo lejano y se define como ubicado a una distancia que es significativamente mayor que W 2 / λ , donde λ es la longitud de onda y W es la dimensión más grande en la apertura. La ecuación de Fraunhofer se puede utilizar para modelar la difracción en este caso. [7]
Por ejemplo, si un orificio circular de 0,5 mm de diámetro se ilumina con un láser con una longitud de onda de 0,6 μm, se puede emplear la ecuación de difracción de Fraunhofer si la distancia de visión es superior a 1000 mm.
Plano focal de una lente positiva como plano de campo lejano
En el campo lejano, las rutas de propagación de las ondas desde cada punto de una apertura hasta un punto de observación son aproximadamente paralelas, y una lente positiva (lente de enfoque) enfoca rayos paralelos hacia la lente a un punto en el plano focal (la posición del punto de enfoque en el plano focal depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Entonces, si se coloca una lente positiva con una distancia focal suficientemente larga (de modo que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico para las ondas se puedan ignorar en el enfoque) después de una apertura, entonces la lente prácticamente hace el patrón de difracción de Fraunhofer de la apertura en su focal. plano cuando los rayos paralelos se encuentran en el foco. [8]
Ejemplos de difracción de Fraunhofer
En cada uno de estos ejemplos, la apertura está iluminada por una onda plana monocromática de incidencia normal.
Difracción por una rendija de profundidad infinita
La anchura de la ranura es W . El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con un gráfico de la intensidad frente al ángulo θ . [9] El patrón tiene una intensidad máxima en θ = 0 , y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, α , subtendido por estos dos mínimos viene dado por: [10]
Por tanto, cuanto menor es la apertura, mayor es el ángulo α subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia z viene dado por
Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5 mm de ancho se ilumina con luz de longitud de onda de 0,6 μm y se ve a una distancia de 1000 mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4 mm.
Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección y, ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.
Si W <λ , la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si D << λ , la onda difractada es cilíndrica.
Análisis semicuantitativo de difracción de rendija única
Podemos encontrar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. Considere la luz difractada en un ángulo θ donde la distancia CD es igual a la longitud de onda de la luz que ilumina. El ancho de la rendija es la distancia AC . La componente de la ondícula emitida desde el punto A que viaja en la dirección θ está en antifase con la onda del punto B en el medio de la rendija, de modo que la contribución neta en el ángulo θ de estas dos ondas es cero . Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de A y B , y así sucesivamente. Por lo tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección θ es cero. Tenemos:
El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es entonces, como arriba:
No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.
Difracción de una sola rendija utilizando el principio de Huygens
Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de una matriz continua de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Deje que la matriz de longitud a sea paralela al eje y con su centro en el origen como se indica en la figura de la derecha. Entonces el campo diferencial es: [11]
dónde . sin emabargo e integrando desde a ,
dónde .
Integrando obtenemos
Dejando donde la longitud de la matriz en rad, luego,
Difracción por una apertura rectangular
La forma del patrón de difracción dada por una apertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). [12] Hay un pico central semi-rectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija por la misma relación que para una sola rendija de modo que la dimensión más grande en la imagen difractada corresponde a la dimensión más pequeña en la rendija. La separación de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la hendidura.
Si el haz de iluminación no ilumina toda la longitud vertical de la rendija, la separación de las franjas verticales está determinada por las dimensiones del haz de iluminación. Un examen detenido del patrón de difracción de doble rendija a continuación muestra que hay franjas de difracción horizontal muy finas por encima y por debajo del punto principal, así como franjas horizontales más obvias.
Difracción por apertura circular
El patrón de difracción dado por una apertura circular se muestra en la figura de la derecha. [13] Esto se conoce como patrón de difracción de Airy . Se puede ver que la mayor parte de la luz está en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como disco de Airy, es
donde W es el diámetro de la apertura.
El disco Airy puede ser un parámetro importante para limitar la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos cercanos.
Difracción por una apertura con un perfil gaussiano
El patrón de difracción obtenido dado por una apertura con un perfil gaussiano , por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisividad tiene una variación gaussiana es también una función gaussiana. La forma de la función está graficada a la derecha (arriba, para una tableta), y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. [14] Esta técnica se puede utilizar en un proceso llamado apodización: la apertura está cubierta por un filtro gaussiano, dando un patrón de difracción sin anillos secundarios.
El perfil de salida de un rayo láser monomodo puede tener un perfil de intensidad gaussiano y la ecuación de difracción se puede utilizar para mostrar que mantiene ese perfil por muy lejos que se propague de la fuente. [15]
Difracción por doble rendija
En el experimento de la doble rendija , las dos rendijas se iluminan con un solo haz de luz. Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menor que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos se superponen, y la amplitud, y por lo tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. [16] Estas franjas se conocen a menudo como franjas de Young .
El espaciado angular de las franjas viene dado por
La separación de las franjas a una distancia z de las rendijas viene dada por [17]
donde d es la separación de las rendijas.
Las franjas de la imagen se obtuvieron utilizando la luz amarilla de una luz de sodio (longitud de onda = 589 nm), con rendijas separadas por 0,25 mm, y se proyectaron directamente sobre el plano de la imagen de una cámara digital.
Las franjas de interferencia de doble rendija se pueden observar cortando dos rendijas en un trozo de cartulina, iluminando con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1 m. Si la separación de la rendija es de 0,5 mm y la longitud de onda del láser es de 600 nm, entonces la separación de las franjas vistas a una distancia de 1 m sería de 1,2 mm.
Explicación semicuantitativa de las franjas de doble rendija
La diferencia de fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.
Si la distancia de visualización es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano ), la diferencia de fase se puede encontrar utilizando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo θ viene dada por
Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de ruta es igual a un número entero de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima, y cuando están en antifase, es decir, la diferencia de ruta es igual a la mitad una longitud de onda, una longitud de onda y media, etc., entonces las dos ondas se cancelan y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia .
Los máximos de la franja de interferencia ocurren en ángulos
donde λ es la longitud de onda de la luz. El espaciado angular de las franjas viene dado por
Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es z , el espaciado de las franjas es igual a z θ y es el mismo que el anterior:
Difracción por rejilla
Una rejilla se define en Born y Wolf como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".
Una rejilla cuyos elementos están separados por S difracta un haz de luz que incide normalmente en un conjunto de haces, en ángulos θ n dados por: [18]
Esto se conoce como ecuación de rejilla . Cuanto más fina sea la separación de las rejillas, mayor será la separación angular de los haces difractados.
Si la luz incide en un ángulo θ 0 , la ecuación de la red es:
La estructura detallada del patrón repetido determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.
La imagen de la derecha muestra un rayo láser difractado por una rejilla en n = 0 y ± 1 rayos. Los ángulos de los haces de primer orden son de unos 20 °; si asumimos que la longitud de onda del rayo láser es de 600 nm, podemos inferir que el espaciado de la rejilla es de aproximadamente 1,8 μm.
Explicación semicuantitativa
Una rejilla simple consta de una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que viaja en un ángulo θ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que la intensidad máxima de la luz difractada se obtenga cuando:
Esta es la misma relación que se da arriba.
Ver también
- Difracción de Fraunhofer (matemáticas)
- Difracción
- Principio de Huygens-Fresnel
- Fórmula de difracción de Kirchhoff
- Difracción de Fresnel
- Disco aireado
- Óptica de Fourier
Referencias
- ^ Born y Wolf, 1999, p. 427.
- ^ Jenkins y White, 1957, p288
- ^ http://scienceworld.wolfram.com/biography/Fraunhofer.html
- ^ Cielos y Ditchburn, 1996, p. 62
- ^ Born y Wolf, 1999, p. 425
- ^ Jenkins y White, 1957, sección 15.1, p. 288
- ^ Lipson, Lipson y Lipson, 2011, p. 203
- ^ Hecht, 2002, p. 448
- ^ Hecht, 2002, Figuras 10.6 (b) y 10.7 (e)
- ^ Jenkins y White, 1957, p. 297
- ^ a b Kraus, John Daniel; Marhefka, Ronald J. (2002). Antenas para todas las aplicaciones . McGraw-Hill. ISBN 9780072321036.
- ^ Born & Wolf, 1999, figura 8.10
- ^ Born & Wolf, 1999, figura 8.12
- ^ Hecht, 2002, figura 11.33
- ^ Hecht, 2002, figura 13.14
- ^ Born & Wolf, 1999, figura 7.4
- ^ Hecht, 2002, eq. (9,30).
- ↑ Longhurst, 1957, ecuación (12.1)
[1]
Fuentes
- Born M & Wolf E , Principles of Optics , 1999, séptima edición, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64222-4
- Heavens OS y Ditchburn W, Insight into Optics, 1991, Longman and Sons, Chichester ISBN 978-0-471-92769-3
- Hecht Eugene, Óptica, 2002, Addison Wesley, ISBN 0-321-18878-0
- Jenkins FA & White HE, Fundamentals of Optics, 1957, 3rd Edition, McGraw Hill, Nueva York
- Lipson A., Lipson SG, Lipson H , Física óptica , 4a ed., 2011, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1
- Longhurst RS, Óptica física y geométrica, 1967, 2a edición, Longmans, Londres
enlaces externos
- Difracción de Fraunhofer en ScienceWorld
- Difracción de Fraunhofer en HyperPhysics
- ^ Goodman, Joseph W. (1996). Introducción a la óptica de Fourier (segunda ed.). Singapur: Las Compañías McGraw-Hill, Inc. p. 73. ISBN 0-07-024254-2.