j-invariante
En matemáticas , la j -invariante o función j de Felix Klein , considerada como una función de una variable compleja τ , es una función modular de peso cero para SL(2, Z ) definida en el semiplano superior de los números complejos . Es la única función tal que es holomorfa lejos de un polo simple en la cúspide tal que
Las funciones racionales de j son modulares y, de hecho, dan todas las funciones modulares. Clásicamente, el invariante j se estudiaba como una parametrización de curvas elípticas sobre C , pero también tiene conexiones sorprendentes con las simetrías del grupo Monster (esta conexión se conoce como luz de luna monstruosa ).
y , son la serie de Eisenstein . Esto puede ser motivado al ver cada τ como una representación de una clase de isomorfismo de curvas elípticas. Cada curva elíptica E sobre C es un toro complejo y, por lo tanto, puede identificarse con una red de rango 2; es decir, una red bidimensional de C . Esta red se puede rotar y escalar (operaciones que conservan la clase de isomorfismo), de modo que se genera por 1 y τ ∈ H . Esta red corresponde a la curva elíptica (ver Funciones elípticas de Weierstrass ).
Tenga en cuenta que j se define en todas partes en H ya que el discriminante modular es distinto de cero. Esto se debe a que el polinomio cúbico correspondiente tiene raíces distintas.
Se puede demostrar que Δ es una forma modular de peso doce y g 2 una de peso cuatro, por lo que su tercera potencia también es de peso doce. Así su cociente, y por tanto j , es una función modular de peso cero, en particular una función holomorfa H → C invariante bajo la acción de SL(2, Z ) . Cociente por su centro { ± I } se obtiene el grupo modular , que podemos identificar con el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) .
podemos reducir τ a un valor que dé el mismo valor para j , y que se encuentre en la región fundamental para j , que consiste en valores para τ que satisfagan las condiciones
