En la teoría de categorías , una categoría Kleisli es una categoría asociado naturalmente a cualquier mónada T . Es equivalente a la categoría de T -álgebras libres . La categoría de Kleisli es una de las dos soluciones extremas a la pregunta: ¿Toda mónada surge de una adjunción ? La otra solución extrema es la categoría de Eilenberg-Moore . Las categorías de Kleisli llevan el nombre del matemático Heinrich Kleisli .
Definicion formal
Deje ⟨ T , η , μ ⟩ ser una mónada más de una categoría C . La categoría de Kleisli de C es la categoría C T cuyos objetos y morfismos están dados por
Es decir, todo morfismo f: X → TY en C (con codominio TY ) también se puede considerar como un morfismo en C T (pero con codominio Y ). La composición de los morfismos en C T está dada por
donde f: X → TY y g: Y → TZ . El morfismo de identidad viene dado por la unidad de mónada η :
- .
Mac Lane utiliza una forma alternativa de escribir esto, que aclara la categoría en la que vive cada objeto. [1] Usamos una notación ligeramente diferente para esta presentación. Dada la misma mónada y categoría como arriba, asociamos con cada objeto en un nuevo objeto , y para cada morfismo en un morfismo . Juntos, estos objetos y morfismos forman nuestra categoría., donde definimos
Entonces el morfismo de la identidad en es
Operadores de extensión y triples de Kleisli
La composición de las flechas de Kleisli se puede expresar de forma sucinta mediante el operador de extensión (-) * : Hom ( X , TY ) → Hom ( TX , TY ). Dada una mónada ⟨ T , η , mu ⟩ sobre una categoría C y un morfismo f : X → TY let
La composición en la categoría C T de Kleisli puede entonces escribirse
El operador de la extensión satisface las identidades:
donde f : X → TY y g : Y → TZ . De estas propiedades se sigue trivialmente que la composición de Kleisli es asociativa y que η X es la identidad.
De hecho, para dar una mónada es dar una Kleisli Triple ⟨ T , η , (-) * ⟩, es decir,
- Una función ;
- Para cada objeto en , un morfismo ;
- Por cada morfismo en , un morfismo
de modo que se satisfagan las tres ecuaciones anteriores para operadores de extensión.
Adjunción de Kleisli
Las categorías de Kleisli se definieron originalmente para mostrar que cada mónada surge de una adjunción. Esa construcción es la siguiente.
Deje ⟨ T , η , μ ⟩ sea una mónada más de una categoría C y dejar que C T sea la categoría Kleisli asociado. Usando la notación de Mac Lane mencionada en la sección "Definición formal" anterior, defina un funtor F : C → C T por
y un functor G : C T → C por
Se puede mostrar que F y G son de hecho funtores y que F se deja adjunto a G . El recuento de la adjunción viene dado por
Finalmente, se puede mostrar que T = GF y μ = GεF para que ⟨ T , η , μ ⟩ es la mónada asociado a la adjunción ⟨ F , G , η , varepsilon ⟩.
Mostrando que GF = T
Para cualquier objeto X de la categoría C :
- .
Para cualquier en la categoría C :
- .
Desde es cierto para cualquier objeto X en C yes cierto para cualquier morfismo f en C , entonces.
Referencias
- ^ Mac Lane (1998) p.147
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
- Jacques Riguet y Rene Guitart (1992) Enveloppe Karoubienne et categorie de Kleisli , Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 33 (3): 261–6, vía Numdam.org