En álgebra de operadores , el teorema de Koecher-Vinberg es un teorema de reconstrucción para álgebras de Jordan reales . Fue probado de forma independiente por Max Koecher en 1957 [1] y Ernest Vinberg en 1961. [2] Proporciona una correspondencia uno a uno entre álgebras de Jordan formalmente reales y los llamados dominios de positividad. Por lo tanto, vincula las vistas teóricas de orden algebraico y convexo del operador sobre los espacios de estados de los sistemas físicos.
Declaración
Un cono convexo se llama regular si siempre que ambos y están en el cierre .
Un cono convexo en un espacio vectorial con un producto interior tiene un cono doble . El cono se llama auto-dual cuando. Se llama homogéneo cuando a dos puntos cualesquierahay una transformación lineal real que se restringe a una biyección y satisface .
El teorema de Koecher-Vinberg ahora establece que estas propiedades caracterizan precisamente los conos positivos de las álgebras de Jordan.
Teorema : Existe una correspondencia biunívoca entre las álgebras de Jordan formalmente reales y los conos convexos que son:
- abierto;
- regular;
- homogéneo;
- auto-dual.
Los conos convexos que satisfacen estas cuatro propiedades se denominan dominios de positividad o conos simétricos . El dominio de la positividad asociado con un álgebra de Jordan real es el interior del cono 'positivo' .
Prueba
Para una prueba, vea Koecher (1999) [3] o Faraut & Koranyi (1994) . [4]
Referencias
- ^ Koecher, Max (1957). "Positivitatsbereiche im R n ". Revista Estadounidense de Matemáticas . 97 (3): 575–596. doi : 10.2307 / 2372563 . JSTOR 2372563 .
- ^ Vinberg, EB (1961). "Conos homogéneos". Matemáticas soviéticas. Dokl . 1 : 787–790.
- ^ Koecher, Max (1999). Las notas de Minnesota sobre las álgebras de Jordan y sus aplicaciones . Saltador. ISBN 3-540-66360-6.
- ^ Faraut, J .; Koranyi, A. (1994). Análisis sobre conos simétricos . Prensa de la Universidad de Oxford.