En matemáticas , los conos simétricos , a veces llamados dominios de positividad , son conos auto-duales convexos abiertos en el espacio euclidiano que tienen un grupo transitivo de simetrías, es decir, operadores invertibles que toman el cono sobre sí mismo. Según el teorema de Koecher-Vinberg, estos corresponden al cono de cuadrados en álgebras de Jordan euclidianas reales de dimensión finita , originalmente estudiadas y clasificadas por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) . El dominio del tubo asociado con un cono simétrico es un espacio simétrico hermitiano no compacto de tipo tubo.. Todas las estructuras algebraicas y geométricas asociadas con el espacio simétrico pueden expresarse naturalmente en términos del álgebra de Jordan. Los otros espacios simétricos hermitianos irreductibles de tipo no compacto corresponden a dominios de Siegel del segundo tipo. Estos pueden describirse en términos de estructuras más complicadas llamadas sistemas triples de Jordan , que generalizan las álgebras de Jordan sin identidad. [1]
Definiciones
Un cono convexo C en un espacio de producto interno real de dimensión finita V es un conjunto convexo invariante bajo la multiplicación por escalares positivos. Abarca el subespacio C - C y el subespacio más grande que contiene es C ∩ (- C ). Abarca todo el espacio si y solo si contiene una base. Dado que el casco convexo de la base es un politopo con interior no vacío, esto sucede si y solo si C tiene interior no vacío. El interior en este caso también es un cono convexo. Además, un cono convexo abierto coincide con el interior de su cierre, ya que cualquier punto interior del cierre debe estar en el interior de algún politopo del cono original. Se dice que un cono convexo es apropiado si su cierre, también un cono, no contiene subespacios.
Sea C un cono convexo abierto. Su dual se define como
También es un cono convexo abierto y C ** = C . [2] Un cono convexo abierto C se dice que es auto-dual si C * = C . Es necesariamente correcta, ya que no contiene 0, por lo que no puede contener tanto X y - X .
El grupo de automorfismo de un cono convexo abierto se define por
Claramente g se encuentra en Aut C si y solo si g toma el cierre de C sobre sí mismo. Entonces Aut C es un subgrupo cerrado de GL ( V ) y, por lo tanto, un grupo de Lie . Además, Aut C * = (Aut C ) *, donde g * es el adjunto de g . C se dice que es homogénea si Aut C actúa transitivamente en C .
El cono convexo abierto C se llama cono simétrico si es auto-dual y homogéneo.
Propiedades teóricas de grupo
- Si C es un cono simétrico, entonces Aut C está cerrado bajo adjuntos.
- El componente de identidad Aut 0 C actúa transitivamente en C .
- Los estabilizadores de puntos son subgrupos compactos máximas , todas conjugado, y de escape de los subgrupos compactos máximas de Aut C .
- En Aut 0 C los estabilizadores de puntos son subgrupos compactos máximas , todas conjugado, y de escape de los subgrupos compactos máximas de Aut 0 C .
- Los subgrupos compactos máximos de Aut 0 C están conectados.
- El grupo de componentes de Aut C es isomorfo al grupo de componentes de un subgrupo compacto máximo y, por lo tanto, finito.
- Aut C ∩ O (V) y Aut 0 C ∩ O (V) son subgrupos compactos máximas en Aut C y Aut 0 C .
- C es naturalmente un espacio simétrico de Riemann isomorfo a G / K donde G = Aut 0 C . La involución de Cartan está definida por σ ( g ) = ( g *) −1 , de modo que K = G ∩ O (V).
Descomposición espectral en un álgebra de Jordan euclidiana
En su artículo clásico, Jordan, von Neumann y Wigner (1934) estudiaron y clasificaron completamente una clase de álgebras de Jordan de dimensión finita, que ahora se denominan álgebras de Jordan euclidianas o álgebras de Jordan formalmente reales .
Definición
Sea E un espacio vectorial real de dimensión finita con una operación de producto bilineal simétrica
con un elemento de identidad 1 tal que a 1 = a para a en A y un producto interno real ( a , b ) para el cual los operadores de multiplicación L ( a ) definidos por L ( a ) b = ab en E son autoadjuntos y satisfacer la relación de Jordan
Como se verá más adelante, la condición de los adjuntos se puede reemplazar por la condición equivalente de que la forma de traza Tr L ( ab ) define un producto interno. La forma de traza tiene la ventaja de ser manifiestamente invariante bajo automorfismos del álgebra de Jordan, que es, por tanto, un subgrupo cerrado de O ( E ) y, por tanto, un grupo de Lie compacto. En ejemplos prácticos, sin embargo, a menudo es más fácil producir un producto interno para el cual L ( a ) son autoadjuntos que verificar directamente la definición positiva de la forma de la traza. (La condición original equivalente de Jordan, von Neumann y Wigner era que si una suma de cuadrados de elementos desaparece, entonces cada uno de esos elementos tiene que desaparecer. [3] )
Asociatividad de poder
De la condición de Jordan se sigue que el álgebra de Jordan es asociativa de potencia , es decir, la subálgebra de Jordan generada por cualquier elemento a en E es en realidad un álgebra conmutativa asociativa. Por lo tanto, al definir a n inductivamente por a n = a ( a n −1 ), se cumple la siguiente relación de asociatividad:
por lo que la subálgebra se puede identificar con R [ a ], polinomios en a . De hecho, la polarización de la relación de Jordan, reemplazando a por a + tb y tomando el coeficiente de t, produce
Esta identidad implica que L ( a m ) es un polinomio en L ( a ) y L ( a 2 ) para todo m . De hecho, asumiendo el resultado para exponentes menores que m ,
Establecer b = a m - 1 en la identidad polarizada de Jordan da:
una relación de recurrencia que muestra inductivamente que L ( a m + 1 ) es un polinomio en L ( a ) y L ( a 2 ).
En consecuencia, si la asociatividad de potencia se cumple cuando el primer exponente es ≤ m , entonces también se cumple para m +1 ya que
Idempotentes y rango
Un elemento e en E se llama idempotente si e 2 = e . Se dice que dos idempotentes son ortogonales si ef = 0. Esto es equivalente a la ortogonalidad con respecto al producto interno, ya que ( ef , ef ) = ( e , f ). En este caso g = e + f también es un idempotente. Una g idempotente se llama primitiva o mínima si no puede escribirse como una suma de idempotentes ortogonales distintos de cero. Si e 1 , ..., e m son idempotentes ortogonales por pares, entonces su suma también es un idempotente y el álgebra que generan consiste en todas las combinaciones lineales de e i . Es un álgebra asociativa. Si e es un idempotente, entonces 1 - e es un idempotente ortogonal. Un conjunto ortogonal de idempotentes con suma 1 se dice que es un conjunto completo o una partición de 1 . Si cada idempotente en el conjunto es mínimo, se le llama marco de Jordan . Dado que el número de elementos en cualquier conjunto ortogonal de idempotentes está limitado por dim E , existen marcos de Jordan. El número máximo de elementos en un marco de Jordan se llama el rango r de E .
Descomposición espectral
El teorema espectral establece que cualquier elemento a puede escribirse unívocamente como
donde los idempotentes e i son una partición de 1 y los λ i , los valores propios de a , son reales y distintos. De hecho, sea E 0 = R [a] y sea T la restricción de L ( a ) a E 0 . T es autoadjunto y tiene 1 como vector cíclico. Entonces, el conmutador de T consta de polinomios en T (o a ). Según el teorema espectral para operadores autoadjuntos,
donde el P i son proyecciones ortogonales sobre E 0 con suma que los λ y i 's son los valores propios reales distintos de T . Puesto que el P i conmute 's con T y son autoadjunta, se les da por multiplicación elementos E i de R [a] y de este modo formar una partición de 1. Singularidad sigue porque si f i es una partición de 1 y un = ∑ μ i f i , entonces con p ( t ) = ∏ ( t - μ j ) y p i = p / ( t - μ i ), f i = p i ( a ) / p i (μ i ). Por lo que el f i 's son polinomios en una y la singularidad de la siguiente manera unicidad de la descomposición espectral de T .
El teorema espectral implica que el rango es independiente del marco de Jordan. Para un marco de Jordan con k idempotentes mínimos se puede usar para construir un elemento a con k valores propios distintos. Como anteriormente el polinomio mínimo p de una tiene grado k y R [ un ] tiene dimensión k . Su dimensión también es la más grande k tal que F k ( a ) ≠ 0 donde F k ( a ) es el determinante de una matriz de Gram :
Por lo que el rango r es el mayor número entero k para el que F k no es idénticamente cero en E . En este caso, como un polinomio que no desaparece, F r es distinto de cero en una densa subconjunto abierto de E . los elementos regulares . Cualquier otro a es un límite de elementos regulares a ( n ) . Dado que la norma del operador de L ( x ) da una norma equivalente en E , un argumento de compacidad estándar muestra que, pasando a una subsecuencia si es necesario, los idempotentes espectrales de a ( n ) y sus valores propios correspondientes son convergentes. El límite de los marcos de Jordan es un marco de Jordan, ya que un límite de idempotentes distintos de cero produce un idempotente distinto de cero por la continuidad de la norma del operador. De ello se deduce que cada cuadro de Jordan se compone de r idempotentes mínimos.
Si e y f son idempotentes ortogonales, los espectáculos teorema espectrales que e y f son polinomios en un = e - f , de manera que L ( e ) y L ( f conmute). Esto se puede ver directamente en la identidad de Jordan polarizada que implica L ( e ) L ( f ) = 2 L ( e ) L ( f ) L ( e ). La conmutatividad sigue tomando adjuntos.
Descomposición espectral para un idempotente
Si e es un idempotente distinto de cero, entonces los valores propios de L ( e ) solo pueden ser 0, 1/2 y 1, ya que tomando a = b = e en la identidad de Jordan polarizada se obtiene
En particular, la norma del operador de L ( e ) es 1 y su traza es estrictamente positiva.
Hay una correspondiente descomposición ortogonal del espacio propio de E
donde, para a en E , E λ ( a ) denota el λ-eigenspace de L ( a ). En esta descomposición, E 1 ( e ) y E 0 ( e ) son álgebras de Jordan con elementos de identidad e y 1 - e . Su suma E 1 ( e ) ⊕ E 0 ( e ) es una suma directa de las álgebras de Jordan en el sentido de que cualquier producto entre ellas es cero. Es la subálgebra centralizador de e y consiste en todo un tales que L ( un conmuta) con L ( e ). El subespacio E 1/2 ( e ) es un módulo para el centralizador de e , el módulo centralizador , y el producto de dos elementos cualesquiera en él se encuentra en la subálgebra del centralizador. Por otro lado, si
entonces U es autoadjunto igual a 1 en el álgebra del centralizador y -1 en el módulo del centralizador. Entonces U 2 = I y las propiedades anteriores muestran que
define un álgebra involutiva Jordan automorfismo σ de E .
De hecho, el álgebra de Jordan y las propiedades del módulo siguen reemplazando a y b en la identidad polarizada de Jordan por e y a . Si ea = 0, esto da L ( e ) L ( a ) = 2 L ( e ) L ( a ) L ( e ). Tomando adjuntos se deduce que L ( a ) conmuta con L ( e ). De manera similar, si (1 - e ) a = 0, L ( a ) conmuta con I - L ( e ) y, por tanto, L ( e ). Esto implica el álgebra de Jordan y las propiedades del módulo. Para comprobar que un producto de los elementos del módulo se encuentra en el álgebra, basta con comprobar esto para los cuadrados: pero si L ( e ) a =1/2 a , luego ea = 1/2 a , entonces L ( a ) 2 + L ( a 2 ) L ( e ) = 2 L ( a ) L ( e ) L ( a ) + L ( a 2 e ). Tomando adjuntos se deduce que L ( a 2 ) conmuta con L ( e ), lo que implica la propiedad de los cuadrados.
Formulario de seguimiento
La forma de seguimiento está definida por
Es un producto interno ya que, para un valor distinto de cero a = ∑ λ i e i ,
La identidad de Jordan polarizada se puede polarizar nuevamente reemplazando a por a + tc y tomando el coeficiente de t . A anyisymmetrization adicionalmente en un y c rendimientos:
Aplicando la traza a ambos lados
de modo que L ( b ) es autoadjunto para la forma de traza.
Álgebras euclidianas simples de Jordan
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La clasificación de las álgebras euclidianas simples de Jordan fue realizada por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) , con detalles de la única álgebra excepcional proporcionada en el artículo que sigue inmediatamente al de ellos por Albert (1934) . Usando la descomposición de Peirce , redujeron el problema a un problema algebraico que involucra formas cuadráticas multiplicativas ya resuelto por Hurwitz . La presentación aquí, siguiendo a Faraut y Koranyi (1994) , usando álgebras de composición o álgebras euclidianas de Hurwitz, es una versión más corta de la derivación original.
Descomposición central
Si E es un Jordan euclidiana álgebra un ideales F en E es un subespacio lineal cerrado bajo la multiplicación por elementos de E , es decir, F es invariante bajo la operadores L ( una ) para un en E . Si P es la proyección ortogonal sobre F , conmuta con los operadores L ( a ), en particular F ⊥ = ( I - P ) E también es un ideal y E = F ⊕ F ⊥ . Además, si e = P (1), entonces P = L ( e ). De hecho, para a en E
de modo que ea = a para a en F y 0 para a en F ⊥ . En particular e y 1 - e son idempotentes ortogonales con L ( e ) = P y L (1 - e ) = I - P . e y 1 - e son las identidades en las álgebras euclidianas de Jordan F y F ⊥ . El idempotente e es central en E , donde el centro de E se define como el conjunto de todo z tal que L ( z ) conmuta con L ( a ) para todo a . Forma una subálgebra asociativa conmutativa.
Continuando de esta manera, E puede escribirse como una suma directa de ideales mínimos
Si P i es la proyección sobre E i y e i = P i (1) entonces P i = L ( e i ). Las e i son ortogonales con suma 1 y son las identidades en E i . La minimidad obliga a E i a ser simple , es decir, a no tener ideales no triviales. Para desde L ( e i ) conmuta con todos L ( a ) 's, ningún ideal F ⊂ E i estaría invariante bajo E desde F = e i F . Esta descomposición en una suma directa de álgebras euclidianas simples es única. Si E = ⊕ F j es otra descomposición, entonces F j = ⊕ e i F j . Por minimidad, solo uno de los términos aquí es distinto de cero, por lo que es igual a F j . Por minimidad, la E i correspondiente es igual a F j , lo que demuestra la unicidad.
De esta forma la clasificación de las álgebras euclidianas de Jordan se reduce a la de las simples. Para un álgebra simple E, todos los productos internos para los cuales los operadores L ( a ) son autoadjuntos son proporcionales. De hecho, cualquier otro producto tiene la forma ( Ta , b ) para algún operador autoadjunto positivo que se desplaza con las L ( a ). Cualquier autoespacio distinto de cero de T es un ideal en A y, por lo tanto, por simplicidad, T debe actuar sobre el conjunto de E como un escalar positivo.
Lista de todas las álgebras euclidianas simples de Jordan
- Deje H n ( R ) ser el espacio de bienes simétrica n por n matrices con producto interior ( un , b ) = Tr ab y Jordan producto un ∘ b = 1/2( ab + ba ). Entonces H n ( R ) es un álgebra de Jordan euclidiana simple de rango n para n ≥ 3.
- Deje H n ( C ) ser el espacio de complejo autoadjunta n por n matrices con el producto interior ( un , b ) = Re Tr ab * y Jordan producto un ∘ b = 1/2( ab + ba ). Entonces H n ( C ) es un álgebra de Jordan euclidiana simple de rango n para n ≥ 3.
- Sea H n ( H ) el espacio de matrices autoadjunto n por n con entradas en los cuaterniones , producto interno ( a , b ) = Re Tr ab * y producto de Jordan a ∘ b = 1/2( ab + ba ). Entonces H n ( H ) es un álgebra de Jordan euclidiana simple de rango n para n ≥ 3.
- Sea V un espacio de producto interno real de dimensión finita y establezca E = V ⊕ R con producto interno ( u ⊕λ, v ⊕μ) = ( u , v ) + λμ y producto (u⊕λ) ∘ (v⊕μ) = (μ u + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λμ]. Este es un álgebra de Jordan euclidiana de rango 2, llamado factor de giro .
- De hecho, los ejemplos anteriores dan todas las álgebras de Jordan euclidianas simples, excepto un caso excepcional H 3 ( O ), las matrices autoadjuntas sobre los octoniones o números de Cayley , otra álgebra de Jordan euclidiana simple de rango 3 de dimensión 27 (ver más abajo) .
Las álgebras de Jordan H 2 ( R ), H 2 ( C ), H 2 ( H ) y H 2 ( O ) son isomorfas a los factores de espín V ⊕ R donde V tiene dimensión 2, 3, 5 y 9, respectivamente: es decir , uno más que la dimensión del álgebra de división relevante.
Descomposición de Peirce
Sea E un álgebra de Jordan euclidiana simple con un producto interno dado por la forma de traza τ ( a ) = Tr L ( a ). La prueba de que E tiene los restos de formularios anteriores en la construcción de un análogo de unidades de la matriz para un marco de Jordan en E . Las siguientes propiedades de idempotents tienen en E .
- Un idempotente e es mínimo en E si y solo si E 1 ( e ) tiene dimensión uno (por lo que es igual a R e ). Además E 1/2 ( e ) ≠ (0). De hecho, las proyecciones espectrales de cualquier elemento de E 1 ( e ) se encuentran en E, por lo que si no cero debe ser igual a e . Si el 1/2 espacio propio desapareciera, E 1 ( e ) = R e sería un ideal.
- Si e y f son idempotentes mínimos no ortogonales, entonces hay una automorphism σ período 2 de E tal que σ e = f , de modo que e y f tienen el mismo rastro.
- Si e y f son idempotentes mínimos ortogonales entonces E media ( e ) ∩ E media ( f ) ≠ (0). Por otra parte, hay un automorfismo σ período 2 de E tales que sigma e = f , de modo que e y f tienen el mismo rastro, y por cualquier una en esta intersección, un 2 = 1/2τ ( e ) | a | 2 ( e + f ).
- Todos los idempotentes mínimos en E están en la misma órbita del grupo de automorfismo, por lo que tienen la misma traza τ 0 .
- Si e , f , g son tres idempotentes ortogonales mínimos, entonces para a en E 1/2 ( e ) ∩ E 1/2 ( f ) yb en E 1/2 ( f ) ∩ E 1/2 ( g ), L ( a ) 2 b = 1/8τ 0 | a | 2 by | ab | 2 = 1/8τ 0 | a | 2 | b | 2 . Además, E 1/2 ( e ) ∩ E 1/2 ( f ) ∩ E 1/2 ( g ) = (0).
- Si e 1 , ..., e r y f 1 , ..., f r son marcos de Jordan en E , entonces hay un automorfismo α tal que α e i = f i .
- Si ( e i ) es un marco de Jordan y E ii = E 1 ( e i ) y E ij = E 1/2 ( e i ) ∩ E 1/2 ( e j ), entonces E es la suma directa ortogonal de E ii y E ij . Como E es simple, los E ii son unidimensionales y los subespacios E ij son todos distintos de cero para i ≠ j .
- Si a = ∑ α i e i para algún marco de Jordan ( e i ), entonces L ( a ) actúa como α i en E ii y (α i + α i ) / 2 en E ij .
Reducción a álgebras euclidianas de Hurwitz
Sea E un álgebra de Jordan euclidiana simple. De las propiedades de la descomposición de Peirce se deduce que:
- Si E tiene rango 2, entonces tiene la forma V ⊕ R para algún espacio de producto interno V con el producto de Jordan como se describe arriba.
- Si E tiene rango r > 2, entonces hay un álgebra unital no asociativa A , asociativa si r > 3, equipada con un producto interno que satisface (ab, ab) = (a, a) (b, b) y tal que E = H r ( A ). (La conjugación en A está definida por a * = −a + 2 (a, 1) 1.)
Tal álgebra A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz . En A si λ ( a ) b = ab y ρ ( a ) b = ba , entonces:
- la involución es un antiautomorfismo, es decir ( a b ) * = b * a *
- a a * = ‖ a ‖ 2 1 = a * a
- λ ( a *) = λ ( a ) * , ρ ( a *) = ρ ( a ) * , por lo que la involución en el álgebra corresponde a tomar adjuntos
- Re ( a b ) = Re ( b a ) si Re x = ( x + x *) / 2 = ( x , 1) 1
- Re ( a b ) c = Re a ( b c )
- λ ( a 2 ) = λ ( a ) 2 , ρ ( a 2 ) = ρ ( a ) 2 , de modo que A es un álgebra alternativa .
Por el teorema de Hurwitz A debe ser isomorfo a R , C , H o O . Los tres primeros son álgebras de división asociativas. Los octoniones no forman un álgebra asociativa, por lo que H r ( O ) solo puede dar un álgebra de Jordan para r = 3. Como A es asociativo cuando A = R , C o H , es inmediato que H r ( A ) es un Álgebra de Jordan para r ≥ 3. Se requiere un argumento separado, dado originalmente por Albert (1934) , para demostrar que H 3 ( O ) con el producto de Jordan a ∘ b = 1/2( ab + ba ) satisface la identidad de Jordan [ L ( a ), L ( a 2 )] = 0. Hay una demostración posterior más directa usando el teorema de diagonalización de Freudenthal debido a Freudenthal (1951) : demostró que dada cualquier matriz en el álgebra H r ( A ) hay un automorfismo del álgebra que lleva la matriz a una matriz diagonal con entradas reales; Entonces es sencillo comprobar que [ L ( a ), L ( b )] = 0 para matrices diagonales reales. [4]
Álgebras de Jordan euclidianas excepcionales y especiales
El álgebra de Jordan euclidiana excepcional E = H 3 ( O ) se llama álgebra de Albert . El teorema de Cohn-Shirshov implica que no puede ser generado por dos elementos (y la identidad). Esto se puede ver directamente. Porque por de Freudenthal teorema diagonalización un elemento X puede ser tomada a ser una matriz diagonal con elementos reales y el otro Y para ser ortogonal a la subálgebra Jordan generada por X . Si todas las entradas diagonales de X son distintas, la subálgebra de Jordan generada por X e Y es generada por las matrices diagonales y tres elementos
Es sencillo verificar que el tramo lineal real de las matrices diagonales, estas matrices y matrices similares con entradas reales forman una subálgebra de Jordan unital. Si las entradas diagonales de X no son distintas, X puede tomarse como el idempotente primitivo e 1 con entradas diagonales 1, 0 y 0. El análisis de Springer y Veldkamp (2000) muestra que la subálgebra unital de Jordan generada por X y Y es correcto. De hecho, si 1 - e 1 es la suma de dos idempotentes primitivos en la subálgebra, entonces, después de aplicar un automorfismo de E si es necesario, la subálgebra será generada por las matrices diagonales y una matriz ortogonal a las matrices diagonales. Por el argumento anterior será apropiado. Si 1 - e 1 es un idempotente primitivo, la subálgebra debe ser adecuada, por las propiedades de la fila en E .
Se dice que un álgebra euclidiana es especial si su descomposición central no contiene copias del álgebra de Albert. Dado que el álgebra de Albert no puede ser generada por dos elementos, se deduce que un álgebra de Jordan euclidiana generada por dos elementos es especial. Este es el teorema de Shirshov-Cohn para las álgebras de Jordan euclidianas. [5]
La clasificación muestra que cada álgebra de Jordan euclidiana simple no excepcional es una subálgebra de alguna H n ( R ). Por tanto, lo mismo ocurre con cualquier álgebra especial.
Por otro lado, como mostró Albert (1934) , el álgebra de Albert H 3 ( O ) no se puede realizar como una subálgebra de H n ( R ) para cualquier n . [6]
De hecho, sea π un mapa lineal real de E = H 3 ( O ) en los operadores autoadjuntos en V = R n con π ( ab ) = 1/2(π ( a ) π ( b ) + π ( b ) π ( a )) y π (1) = Yo . Si e 1 , e 2 , e 3 son los idempotentes mínimos diagonales, entonces P i = π ( e i son proyecciones mutuamente ortogonales en V sobre los subespacios ortogonales V i . Si i ≠ j , los elementos e ij de E con 1 en el ( i , j ) y ( j , i ) entradas y 0 en cualquier otro lugar satisfacen e ij 2 = e i + e j . Además, e ij e jk = 1/2 E ik si i , j y k son distintos. Los operadores T ij son cero en V k ( k ≠ i , j ) y se restringen a involuciones en V i ⊕ V j intercambiando V i y V j . Dejando P ij = P i T ij P j y estableciendo P ii = P i , el ( P ij ) forma un sistema de unidades matriciales en V , es decir, P ij * = P ji , ∑ P ii = I y P ij P km = δ jk P im . Deje E i y E ij ser la subespacios de la descomposición de Peirce E . Para x en O , establezca π ij = P ij π (x e ij ), considerado como un operador en V i . Esto no depende de j y para x , y en O
Dado que cada x en O tiene una y inversa recta con xy = 1, el mapa π ij es inyectivo. Por otro lado, es un homomorfismo de álgebra del álgebra no asociativa O al álgebra asociativa Fin V i , una contradicción. [7]
Cono positivo en un álgebra de Jordan euclidiana
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Definición
Cuando ( e i ) es una partición de 1 en un álgebra E de Jordan euclidiana , los operadores autoadjuntos L ( e i ) conmutan y hay una descomposición en autoespacios simultáneos. Si a = ∑ λ i e i los autovalores de L ( a ) tienen la forma ∑ ε i λ i es 0, 1/2 o 1. Los e i mismos dan los autovalores λ i . En particular, un elemento a tiene un espectro no negativo si y solo si L ( a ) tiene un espectro no negativo. Además, a tiene un espectro positivo si y solo si L ( a ) tiene un espectro positivo. Porque si a tiene un espectro positivo, a - ε1 tiene un espectro no negativo para algunos ε> 0.
El cono positivo C en E se define como el conjunto de elementos a tal que a tiene un espectro positivo. Esta condición es equivalente al operador L ( un ) ser un positivo operador autoadjunta en E .
- C es un cono convexo en E porque la positividad de un operador autoadjunto T , la propiedad de que sus valores propios sean estrictamente positivos, es equivalente a ( Tv , v )> 0 para todo v ≠ 0.
- C es abierto porque las matrices positivas están abiertas en las matrices autoadjuntas y L es un mapa continuo: de hecho, si el valor propio más bajo de T es ε> 0, entonces T + S es positivo siempre que || S || <ε.
- El cierre de C consiste en todos a tales que L ( a ) no es negativo o, de manera equivalente, a tiene un espectro no negativo. De las propiedades elementales de los conos convexos, C es el interior de su cierre y es un cono propio. Los elementos en el cierre de C son, precisamente, la plaza de elementos de E .
- C es auto-dual. De hecho, los elementos del cierre de C son solo un conjunto de todos los cuadrados x 2 en E , el cono dual está dado por todo a tal que ( a , x 2 )> 0. Por otro lado, ( a , x 2 ) = ( L ( a ) x , x ), por lo que esto es equivalente a la positividad de L ( a ). [8]
Representación cuadrática
Para mostrar que el cono positivo C es homogéneo, es decir, tiene un grupo transitivo de automorfismos, se debe definir una generalización de la acción cuadrática de las matrices autoadjuntas sobre sí mismas dada por X ↦ YXY . Si Y es invertible y autoadjunto, este mapa es invertible y lleva operadores positivos a operadores positivos.
Para a en E , defina un endomorfismo de E , llamado representación cuadrática , por [9]
Tenga en cuenta que para matrices autoadjuntas L ( X ) Y = 1/2( XY + YX ), de modo que Q ( X ) Y = XYX .
Un elemento a en E se llama invertible si es invertible en R [ a ]. Si b denota la inversa, entonces la descomposición espectral de a muestra que L ( a ) y L ( b ) conmutan.
De hecho, a es invertible si y solo si Q ( a ) es invertible. En ese caso
De hecho, si Q ( a ) es invertible, lleva a R [ a ] sobre sí mismo. Por otro lado, Q ( a ) 1 = a 2 , entonces
Tomando b = a −1 en la identidad de Jordan polarizada, se obtiene
Reemplazando a por su inverso, la relación sigue si L ( a ) y L ( a −1 ) son invertibles. De lo contrario, es válido para a + ε1 con ε arbitrariamente pequeño y, por lo tanto, también en el límite.
- Si un y b son invertible entonces también lo es Q ( un ) b y satisface la identidad inversa:
- La representación cuadrática satisface la siguiente identidad fundamental:
- En particular, tomando b como potencias no negativas de a , se sigue por inducción que
Estas identidades son fáciles de probar en un álgebra de Jordan de dimensión finita (euclidiana) (ver más abajo) o en un álgebra de Jordan especial , es decir, el álgebra de Jordan definida por un álgebra asociativa unital. [10] Son válidos en cualquier álgebra de Jordan. Esto fue conjeturado por Jacobson y probado en Macdonald (1960) : Macdonald mostró que si una identidad polinomial en tres variables, lineal en la tercera, es válida en cualquier álgebra de Jordan especial, entonces se mantiene en todas las álgebras de Jordan. [11]
De hecho, para c en A y F ( a ) una función en A con valores en el extremo A , sea D c F ( a ) la derivada en t = 0 de F ( a + tc ). Luego
La expresión entre corchetes se simplifica ac porque L ( a ) conmuta con L ( a −1 ).
Por lo tanto
Aplicando D c a L ( a −1 ) Q ( a ) = L ( a ) y actuando sobre b = c −1 se obtiene
Por otro lado, L ( Q ( a ) b ) es invertible en un conjunto denso abierto donde Q ( a ) b también debe ser invertible con
Tomando la derivada D c en la variable b en la expresión anterior da
Esto produce la identidad fundamental para un conjunto denso de elementos invertibles, por lo que se sigue en general por continuidad. La identidad fundamental implica que c = Q ( un ) b es invertible si un y b son invertible y da una fórmula para la inversa de Q ( c ). Aplicarlo ac da la identidad inversa en total generalidad.
Finalmente, se puede verificar inmediatamente a partir de las definiciones que, si u = 1 - 2 e para algún e idempotente , entonces Q ( u ) es el automorfismo del período 2 construido anteriormente para el álgebra centralizadora y el módulo de e .
Homogeneidad del cono positivo
La prueba de esto se basa en las propiedades elementales de continuidad de los valores propios de los operadores autoadjuntos. [12]
Sea T ( t ) (α ≤ t ≤ β) una familia continua de operadores autoadjuntos en E con T (α) positivo y T (β) con un valor de eiegen negativo. Establezca S ( t ) = - T ( t ) + M con M > 0 elegido tan grande que S ( t ) sea positivo para todo t . La norma del operador || S ( t ) || es continuo. Es menor que M para t = α y mayor que M para t = β. Entonces, para algunos α < s <β, || S ( s ) || = M y hay un vector v ≠ 0 tal que S ( s ) v = Mv . En particular, T ( s ) v = 0, de modo que T ( s ) no es invertible.
Supongamos que x = Q ( un ) b no está en C . Deje b ( t ) = (1 - t ) + tb con 0 ≤ t ≤ 1. Por convexidad b ( t ) se encuentra en C . Sea x ( t ) = Q ( a ) b ( t ) y X ( t ) = L ( x ( t )). Si X ( t ) es invertible para todo t con 0 ≤ t ≤ 1, el argumento del valor propio da una contradicción ya que es positivo en t = 0 y tiene valores propios negativos en t = 1. Entonces X ( s ) tiene un valor propio cero para algunos s con 0 < s ≤ 1: X ( s ) w = 0 con w ≠ 0. Según las propiedades de la representación cuadrática, x ( t ) es invertible para todo t . Sea Y ( t ) = L ( x ( t ) 2 ). Este es un operador positivo desde x ( t ) 2 mentiras en C . Sea T ( t ) = Q ( x ( t )), un operador autoadjunto invertible por la invertibilidad de x ( t ). Por otro lado, T ( t ) = 2 X ( t ) 2 - Y ( t ). Entonces ( T ( s ) w , w ) <0 ya que Y ( s ) es positivo y X ( s ) w = 0. En particular, T ( s ) tiene algunos valores propios negativos. Por otro lado, el operador T (0) = Q ( a 2 ) = Q ( a ) 2 es positivo. Según el argumento del valor propio, T ( t ) tiene valor propio 0 para algún t con 0 < t < s , una contradicción.
De ello se deduce que los operadores lineales Q ( a ) con un invertible y sus inversos toman el cono C sobre sí mismo. De hecho, la inversa de Q ( a ) es simplemente Q ( a −1 ). Dado que Q ( a ) 1 = a 2 , existe un grupo transitivo de simetrías:
Álgebra euclidiana de Jordan de un cono simétrico
Construcción
Deje que C sea un cono simétrico en el espacio euclidiano E . Como antes, Aut C denota el subgrupo cerrado de GL ( E ) que toma C (o equivalentemente su cierre) sobre sí mismo. Sea G = Aut 0 C su componente de identidad. K = G ∩ O ( E ). Es un subgrupo compacto maximal de G y el estabilizador de un punto de e en C . Esta conectado. El grupo G es invariante bajo los adjuntos. Sea σ g = ( g *) −1 , automorfismo del período 2. Por tanto, K es el subgrupo de punto fijo de σ. Dejarser el álgebra de Lie de G . Por tanto, σ induce una involución de y por lo tanto una descomposición del espacio propio de ± 1
dónde , el espacio propio +1, es el álgebra de Lie de K yes el espacio propio -1. Por lo tanto⋅ e es un subespacio afín de dimensión tenue. Dado que C = G / K es un subespacio abierto de E , se deduce que dim E = dim y por lo tanto ⋅ e = E . Para a en E sea L ( a ) el elemento único detal que L ( a ) e = a . Defina a ∘ b = L ( a ) b . Entonces E con su estructura euclidiana y este producto bilineal es un álgebra de Jordan euclidiana con identidad 1 = e . El convexa cono coincide C con el cono positivo de E . [13]
Dado que los elementos de son autoadjuntos, L ( a ) * = L ( a ). El producto es conmutativo ya que [, ] ⊆ aniquila e , de modo que ab = L ( a ) L ( b ) e = L ( b ) L ( a ) e = ba . Queda por comprobar la identidad de Jordan [ L ( a ), L ( a 2 )] = 0.
El asociador está dado por [ a , b , c ] = [ L ( a ), L ( c )] b . Dado que [ L ( a ), L ( c )] se encuentra ense sigue que [[ L ( a ), L ( c )], L ( b )] = L ([ a , b , c ]). Hacer que ambas partes actúen sobre c rendimientos
Por otro lado,
y de la misma manera
La combinación de estas expresiones da
lo que implica la identidad de Jordan.
Por último el cono positivo de E coincide con C . Esto depende del hecho de que en cualquier álgebra E de Jordan euclidiana
De hecho, Q ( e a ) es un operador positivo, Q ( e ta ) es un grupo de operadores positivos de un parámetro: esto sigue por continuidad para t racional , donde es una consecuencia del comportamiento de las potencias Por lo que tiene la forma exp tX para algún operador X autoadjunto . Tomando la derivada en 0 da X = 2 L ( a ).
Por lo tanto, el cono positivo está dado por todos los elementos.
con X en. Por lo tanto el cono positivo de E se encuentra dentro C . Dado que ambos son auto-duales, deben coincidir.
Grupos de automorfismo y forma de traza
Sea C el cono positivo en un álgebra E de Jordan euclidiana simple . Aut C es el subgrupo cerrado de GL ( E ) que toma C (o su cierre) sobre sí mismo. Sea G = Aut 0 C el componente de identidad de Aut C y sea K el subgrupo cerrado de la fijación de G 1. De las propiedades teóricas de grupo de los conos, K es un subgrupo compacto conectado de G y es igual al componente de identidad de la Lie compacta Aut grupo E . Dejar y ser las álgebras de Lie de G y K . G es cerrado tomando adjuntos y K es el subgrupo de punto fijo del automorfismo del período 2 σ ( g ) = ( g *) −1 . Por tanto, K = G ∩ SO ( E ). Dejar sea el -1 autoespacio de σ.
- consta de derivaciones de E que son adjuntas sesgadas para el producto interno definido por la forma de traza.
- [[ L ( a ), L ( c )], L ( b )] = L ([ a , b , c ]).
- Si un y b están en E , entonces D = [ L ( una ), L ( b )] es una derivación de E , de modo mentiras en. Estas derivaciones abarcan.
- Si un está en C , entonces Q ( un ) se encuentra en G .
- C es el componente conectado del conjunto abierto de elementos invertibles de E que contiene 1. Se compone de exponenciales de elementos de E y el mapa exponencial da un difeomorfismo de E en C .
- El mapa a ↦ L ( a ) da un isomorfismo de E sobrey e L ( a ) = Q ( e a / 2 ). Este espacio de tales coincide exponenciales con P los elementos autoadjuntos positivos en G .
- Para g en G y a en E , Q ( g ( a )) = g Q ( a ) g *.
Descomposición de Cartan
- G = P ⋅ K = K ⋅ P y la descomposición g = pk corresponde a la descomposición polar en GL ( E ).
- Si ( e i ) es un marco de Jordan en E , entonces el subespacio de abarcado por L ( e i ) es el abeliano máximo en. A = expes el subgrupo abeliano de operadores Q ( un ) donde un = Σ λ i e i con λ i > 0. A es cerrado en P y por lo tanto G . Si b = Σ μ i e i con μ i > 0, entonces Q ( ab ) = Q ( a ) Q ( b ).
- y P son la unión de la K se traduce dey A .
Descomposición de Iwasawa para cono
Si E tiene descomposición de Peirce en relación con el marco de Jordan ( e i )
luego está diagonalizado por esta descomposición con L ( a ) actuando como (α i + α j ) / 2 en E ij , donde a = ∑ α i e i .
Defina el subgrupo cerrado S de G por
donde el orden en pares p ≤ q es lexicográfico . S contiene el grupo A , ya que actúa como escalares en E ij . Si N es el subgrupo cerrado de S tal que nx = x modulo ⊕ ( p , q )> ( i , j ) E pq , entonces S = AN = NA , un producto semidirecto con A normalizadora N . Además, G tiene la siguiente descomposición de Iwasawa :
Porque yo ≠ j dejo
Entonces el álgebra de Lie de N es
Tomando bases ortonormales ordenadas de E ij se obtiene una base de E , usando el orden lexicográfico en pares ( i , j ). El grupo N es triangular unitario inferior y su álgebra de Lie triangular inferior. En particular, el mapa exponencial es un mapa polinomial desobre N , con polinomio inverso dado por el logaritmo.
Complejificación de un álgebra de Jordan euclidiana
Definición de complexificación
Sea E un álgebra de Jordan euclidiana. La complexificación E C = E ⊕ iE tiene una operación de conjugación natural ( a + ib ) * = a - ib y un producto interno complejo natural y norma. El producto de Jordan en E se extiende bilinealmente a E C , de modo que ( a + ib ) ( c + id ) = ( ac - bd ) + i ( ad + bc ). Si la multiplicación está definida por L ( a ) b = ab, entonces el axioma de Jordan
todavía se mantiene por la continuación analítica. De hecho, la identidad anterior se cumple cuando a se reemplaza por a + tb para t real; y dado que el lado izquierdo es entonces un polinomio con valores en el extremo E C que se desvanecen para t real , también se desvanece el complejo t . Continuación analítica también muestra que todo por las fórmulas que implican poder-asociatividad para un solo elemento de una en E , incluyendo fórmulas de recursión para L ( un m ), también HOLD en E C . Dado que para b en E , L ( b ) es todavía autoadjunta en E C , la relación adjunto L ( un *) = L ( un ) * se mantiene para una en E C . De manera similar, la forma bilineal simétrica β ( a , b ) = ( a , b *) satisface β ( ab , c ) = β ( b , ac ). Si el producto interno proviene de la forma de trazas, entonces β ( a , b ) = Tr L ( ab ).
Para a en E C , la representación cuadrática se define como antes por Q ( a ) = 2 L ( a ) 2 - L ( a 2 ). Por continuación analítica, la identidad fundamental todavía se mantiene:
Un elemento a en E se llama invertible si es invertible en C [ a ]. La asociatividad de potencia muestra que L ( a ) y L ( a −1 ) conmutan. Por otra parte, un -1 es invertible con inversa una .
Como en E , a es invertible si y solo si Q ( a ) es invertible. En ese caso
De hecho, en cuanto a E , si Q ( a ) es invertible, lleva C [ a ] sobre sí mismo, mientras que Q ( a ) 1 = a 2 , entonces
entonces a es invertible. Por el contrario, si a es invertible, tomar b = a −2 en la identidad fundamental muestra que Q ( a ) es invertible. Reemplazar a por a −1 y b por a muestra que su inverso es Q ( a −1 ). Por último, si un y b son invertible entonces también lo es c = Q ( una ) B y satisface la identidad inversa:
La invertibilidad de c se sigue de la fórmula fundamental que da Q ( c ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ). Por eso
La formula
también sigue la continuación analítica.
Grupo de complexificación del automorfismo
Aut E C es la complejidad del grupo de Lie compacto Aut E en GL ( E C ). Esto es consecuencia de que las álgebras de Lie de Aut E C y Aut E consisten en derivaciones del complejo y real Álgebra de Jordan E C y E . Bajo el isomorfismo que identifica el extremo E C con la complejación del extremo E , las derivaciones complejas se identifican con la complejación de las derivaciones reales. [14]
Grupos de estructura
El Jordan operador L ( una ) son simétricas con respecto a la forma de traza, de manera que L ( un ) t = L ( una ) para un en E C . Los grupos de automorfismos de E y E C consisten de bienes invertible y operadores lineales complejas g tal que L ( ga ) = gL ( un ) g -1 y g1 = 1. Aut E C es la complejización de Aut E . Dado que un automorfismo g conserva la forma de traza, g −1 = g t .
Los grupos de estructura de E y E C constan de operadores lineales complejos y reales invertibles g tales que
Forman grupos Γ ( E ) y Γ ( E C ) con Γ ( E ) ⊂ Γ ( E C ).
- El grupo de estructura está cerrado tomando transposiciones g ↦ g t y adjuntos g ↦ g *.
- El grupo de estructura contiene el grupo de automorfismo. El grupo de automorfismo se puede identificar con el estabilizador de 1 en el grupo de estructura.
- Si a es invertible, Q ( a ) pertenece al grupo de estructuras.
- Si g está en el grupo de estructura y a es invertible, ga también es invertible con ( ga ) −1 = ( g t ) −1 a −1 .
- Si E es simple, Γ ( E ) = Aut C × {± 1}, Γ ( E ) ∩ O ( E ) = Aut E × {± 1} y el componente de identidad de Γ ( E ) actúa transitivamente en C .
- Γ ( E C ) es la complejidad de Γ ( E ), que tiene álgebra de Lie.
- El Γ grupo estructura ( E C ) actúa transitivamente en el conjunto de elementos invertibles en E C .
- Cada g en Γ ( E C ) tiene la forma g = h Q ( a ) con h un automorfismo y un invertible.
El grupo de estructura unitaria Γ u ( E C ) es el subgrupo de Γ ( E C ) que consta de operadores unitarios, de modo que Γ u ( E C ) = Γ ( E C ) ∩ U ( E C ).
- El estabilizador de 1 en Γ u ( E C ) es Aut E .
- Cada g en Γ u ( E C ) tiene la forma g = h Q ( u ) con h en Aut E y u invertible en E C con u * = u -1 .
- Γ ( E C ) es la complejidad de Γ u ( E C ), que tiene álgebra de Lie.
- El conjunto S de elementos invertibles u tal que u * = u −1 se puede caracterizar de manera equivalente como aquellos u para los cuales L ( u ) es un operador normal con uu * = 1 o como aquellos u de la forma exp ia para algunos a en E . En particular, S está conectado.
- El componente de identidad de Γ u ( E C ) actúa transitivamente sobre S
- g en GL ( E C ) está en el grupo de estructura unitaria si y solo si gS = S
- Dado un marco de Jordan ( e i ) y v en E C , hay un operador u en el componente de identidad de Γ u ( E C ) tal que uv = ∑ α i e i con α i ≥ 0. Si v es invertible, entonces α i > 0.
Dado un marco ( e i ) en un álgebra E euclidiana de Jordan , el grupo de Weyl restringido puede identificarse con el grupo de operadores en ⊕ R e i que surgen de elementos en el componente de identidad de Γ u ( E C ) que dejan ⊕ R e yo invariante.
Norma espectral
Sea E un álgebra de Jordan euclidiana con el producto interno dado por la forma de la traza. Sea ( e i ) un marco de Jordan fijo en E . Para dado a en E C, elija u en Γ u ( E C ) tal que ua = ∑ α i e i con α i ≥ 0. Entonces la norma espectral || a || = max α i es independiente de todas las opciones. Es una norma en E C con
Además || a || 2 es dada por el norma operador de Q ( un ) en el espacio de producto interior E C . La identidad fundamental para la representación cuadrática implica que || Q ( a ) b || ≤ || a || 2 || b ||. La norma espectral de un elemento a se define en términos de C [ a ], por lo que depende solo de a y no del álgebra de Jordan euclidiana particular en la que se calcula. [15]
El conjunto compacto S es el conjunto de puntos extremos de la bola unitaria cerrada || x || ≤ 1. Cada u en S tiene la norma uno. Además, si u = e ia y v = e ib , entonces || uv || ≤ 1. De hecho, por el teorema de Cohn-Shirshov la unital subálgebra de Jordan E generado por una y b es especial. La desigualdad es fácil de establecer en álgebras de Jordan euclidianas simples no excepcionales, ya que cada álgebra de Jordan y su complexificación se puede realizar como una subálgebra de alguna H n ( R ) y su complexificación H n ( C ) ⊂ M n ( C ) . La norma espectral en H n ( C ) es la norma de operador habitual. En ese caso, para las matrices unitarias U y V en M n ( C ), claramente || 1/2( UV + VU ) || ≤ 1. Por tanto, la desigualdad sigue en cualquier álgebra de Jordan euclidiana especial y, por tanto, en general. [dieciséis]
Por otro lado, por el teorema de Krein-Milman , la bola unidad cerrada es la (cerrado) lapso convexa de S . [17] De ello se deduce que || L ( u ) || = 1, en la norma del operador correspondiente a la norma del producto interno o la norma espectral. Por lo tanto || L ( a ) || ≤ || a || para todo a , de modo que la norma espectral satisfaga
De ello se deduce que E C es un álgebra de Jordan C * . [18]
Álgebras de Jordan simples complejas
La complexificación de un álgebra de Jordan euclidiana simple es un álgebra de Jordan complejo simple que también es separable , es decir, su forma de traza no es degenerada. A la inversa, utilizando la existencia de una forma real del álgebra de Lie del grupo de estructura, se puede demostrar que todo álgebra de Jordan simple compleja separable es la complejificación de un álgebra de Jordan euclidiana simple. [19]
Para verificar que la complexificación de un álgebra E de Jordan euclidiana simple no tiene ideales, tenga en cuenta que si F es un ideal en E C, entonces también lo es F ⊥ , el complemento ortogonal para la norma de trazas. Como en el caso real, J = F ⊥ ∩ F debe ser igual a (0). Para la propiedad asociatividad de la forma de traza muestra que F ⊥ es un ideal y que ab = 0 si una y b se encuentran en J . Por tanto, J es un ideal. Pero si z está en J , L ( z ) toma E C en J y J en (0). Por lo tanto, Tr L ( z ) = 0. Dado que J es un ideal y la forma de la traza degenerada, esto fuerza a z = 0. Se deduce que E C = F ⊕ F ⊥ . Si P es la proyección correspondiente a F , se conmuta con la operadores L ( una ) y F ⊥ = ( I - P ) E C . también es un ideal y E = F ⊕ F ⊥ . Además, si e = P (1), entonces P = L ( e ). De hecho, para a en E
de modo que ea = a para a en F y 0 para a en F ⊥ . En particular e y 1 - e son ortogonales centrales idempotentes con L ( e ) = P y L (1 - e ) = I - P .
Así simplicidad se deduce del hecho de que el centro de E C es la complejización del centro de E .
Grupos de simetría de dominio acotado y dominio de tubo
De acuerdo con el "enfoque elemental" al espacio simétrico acotado de Koecher, [20] Los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto se pueden realizar en la complejación de un álgebra E euclidiana de Jordania como la bola unitaria abierta para la norma espectral, un dominio acotado, o como el dominio abierto tubo T = E + iC , donde C es el cono abierto positivo en E . En el caso más simple donde E = R , la complexificación de E es solo C , el dominio acotado corresponde al disco unitario abierto y el dominio del tubo al semiplano superior. Ambos espacios tienen grupos transitivos de biholomorfismos dados por transformaciones de Möbius, correspondientes a matrices en SU (1,1) o SL (2, R ) . Ambos se encuentran en el Riemann esfera C ∪ {∞ }, la de un punto compactificación estándar de C . Además, los grupos de simetría son todos casos particulares de transformaciones de Möbius correspondientes a matrices en SL (2, C ) . Este grupo de Lie complejo y su subgrupo compacto máximo SU (2) actúan transitivamente sobre la esfera de Riemann. Los grupos también son algebraicos. Han distinguido subgrupos generadores y tienen una descripción explícita en términos de generadores y relaciones. Además, la transformada de Cayley da una transformación explícita de Möbius del disco abierto al semiplano superior. Todas estas características se generalizan a álgebras arbitrarias de Jordan euclidianas. [21] La compactificación y el grupo de Lie complejo se describen en la siguiente sección y corresponden al espacio simétrico hermitiano dual de tipo compacto. En esta sección solo se describen las simetrías de y entre el dominio acotado y el dominio de tubo.
Los marcos de Jordan proporcionan una de las principales técnicas algebraicas de Jordan para describir los grupos de simetría. Cada trama Jordan da lugar a un producto de copias de R y C . Los grupos de simetría de los correspondientes dominios abiertos y la compactación —polidiscos y poliesferas— se pueden deducir del caso del disco unitario, el semiplano superior y la esfera de Riemann. Todas estas simetrías se extienden al álgebra de Jordan más amplia y su compactación. El análisis también se puede reducir a este caso porque todos los puntos en el álgebra compleja (o su compactificación) se encuentran en una imagen del polidisco (o polisfera) bajo el grupo de estructura unitaria.
Definiciones
Sea E un álgebra de Jordan euclidiana con complexificación A = E C = E + iE .
La bola unidad o disco D en A es sólo el convexa delimitada conjunto abierto de elementos de un tipo de la || a || <1, es decir, la bola unitaria para la norma espectral.
El dominio tubo T en A es el ilimitado conjunto abierto convexa T = E + iC , donde C es el cono positivo abierto en E .
Transformaciones de Moebius
El grupo SL (2, C ) actúa por transformaciones de Möbius en la Riemann esfera C ∪ {∞}, la compactación de un punto de C . Si g en SL (2, C ) viene dada por la matriz
luego
Del mismo modo el grupo SL (2, R ) actúa por transformaciones de Möbius en el círculo R ∪ {∞}, la compactación de un punto de R .
Deje que k = R o C . Entonces SL (2, k ) es generada por los tres subgrupos de inferior y matrices superior unitriangular, L y U' , y las matrices diagonales D . También es generado por las matrices triangulares unitarias inferiores (o superiores), las matrices diagonales y la matriz.
La matriz J corresponde a la transformación de Möbius j ( z ) = - z −1 y se puede escribir
Las transformaciones de Möbius que fijan ∞ son solo las matrices triangulares superiores B = UD = DU . Si g no fija ∞, envía ∞ a un punto finito a . Pero luego g se puede componer con una matriz triangular unitaria superior para enviar a a 0 y luego con J para enviar 0 a infinito. Este argumento da uno de los ejemplos más simples de la descomposición de Bruhat :
la descomposición de doble clase lateral de SL (2, k ) . De hecho, la unión es inconexa y puede escribirse con mayor precisión como
donde el producto que ocurre en el segundo término es directo.
Ahora deja
Luego
De ello se deduce que SL (2, k ) es generado por el grupo de operadores T (β) y J sujeto a las siguientes relaciones:
- β ↦ T (β) es un homomorfismo aditivo
- α ↦ D (α) = JT (α −1 ) JT (α) JT (α −1 ) es un homomorfismo multiplicativo
- D (−1) = J
- D (α) T (β) D (α) −1 = T (α 2 β)
- JD (α) J −1 = D (α) −1
La última relación se deriva de la definición de D (α) . El generador y las relaciones anteriores dan una presentación de SL (2, k ) . De hecho, considere el grupo libre Φ generado por J y T (β) con J de orden 4 y su cuadrado central. Consiste en todos los productos T (β 1 ) JT (β 2 ) JT (β 3 ) J ... T (β m ) J para m ≥ 0 . Hay un homomorfismo natural de Φ sobre SL (2, k ) . Su núcleo contiene el subgrupo normal Δ generado por las relaciones anteriores. Entonces hay un homomorfismo natural de Φ / Δ sobre SL (2, k ) . Para demostrar que es inyectivo, basta con mostrar que la descomposición de Bruhat también se cumple en Φ / Δ . Basta probar la primera versión, ya que la versión más precisa se deriva de las relaciones de conmutación entre J y D (α) . El conjunto B ∪ B J B es invariante bajo inversión, contiene operadores T (β) y J , por lo que es suficiente mostrar que es invariante bajo multiplicación. Por construcción es invariante bajo la multiplicación por B . Es invariante bajo la multiplicación por J debido a la ecuación definitoria de D (α) . [22]
En particular, el centro de SL (2, k ) consiste en las matrices escalares ± I y es el único subgrupo normal no trivial de SL (2, k ) , de modo que PSL (2, k ) = SL (2, k ) / {± I } es simple . [23] De hecho, si K es un subgrupo normal, entonces la descomposición de Bruhat implica que B es un subgrupo máximo, de modo que K está contenido en B o KB = SL (2, k ) . En el primer caso, K fija un punto y, por lo tanto, todos los puntos de k ∪ {∞ }, por lo que se encuentra en el centro. En el segundo caso, el subgrupo de conmutadores de SL (2, k ) es el grupo completo, ya que es el grupo generado por las matrices triangulares unitarias inferior y superior y la cuarta relación muestra que todas estas matrices son conmutadores desde [ T (β), D (α)] = T (β - α 2 β) . Escribiendo J = kb con k en K y b en B , se sigue que L = k U k −1 . Dado que U y L generan el grupo completo, SL (2, k ) = KU . Pero a continuación, SL (2, k ) / K ≅ T / T ∩ K . El lado derecho aquí es abeliano, mientras que el lado izquierdo es su propio subgrupo de conmutadores. Por tanto, este debe ser el grupo trivial y K = SL (2, k ) .
Dado un elemento a en el álgebra compleja de Jordan A = E C , la subálgebra unital de Jordan C [ a ] es asociativa y conmutativa. La multiplicación por a define un operador en C [ a ] que tiene un espectro, es decir, su conjunto de valores propios complejos. Si p ( t ) es un polinomio complejo, entonces p ( a ) se define en C [ a ] . Es invertible en A si y solo si es invertible en C [ a ] , lo que ocurre precisamente cuando p no desaparece en el espectro de a . Esto permite que las funciones racionales de una a definirse cada vez que la función se define en el espectro de una . Si F y G son funciones racionales con G y F ∘ G definidos en a , entonces F se define en G ( a ) y F ( G ( a )) = ( F ∘ G ) ( a ) . Esto se aplica en particular a las transformaciones complejas de Möbius que pueden definirse por g ( a ) = (α a + β1) (γ a + δ1) −1 . Dejan C [ a ] invariante y, cuando se definen, se cumple la ley de composición del grupo. (En la siguiente sección se definirán transformaciones complejas de Möbius sobre la compactificación de A ). [24]
Dada una e idempotente primitiva en E con descomposición de Peirce
la acción de SL (2, C ) por transformaciones de Möbius en E 1 ( e ) = C e se puede extender a una acción en A de modo que la acción deja invariantes las componentes A i ( e ) y en particular actúa trivialmente en E 0 ( e ) . [25] Si P 0 es la proyección sobre A 0 ( e ) , la acción está dada por la fórmula
Para un marco de Jordan de idempotentes primitivos e 1 , ..., e m , las acciones de SL (2, C ) asociadas con diferentes e i conmutan, dando así una acción de SL (2, C ) m . La copia diagonal de SL (2, C ) da de nuevo la acción por transformaciones de Möbius en A .
Cayley transform
La transformación de Möbius definida por
se llama la transformada de Cayley . Su inverso está dado por
La transformada inversa de Cayley lleva la línea real al círculo con el punto 1 omitido. Lleva el semiplano superior al disco unitario y el semiplano inferior al complemento del disco unitario cerrado. En la teoría de operadores, el mapeo T ↦ P ( T ) lleva operadores autoadjuntos T a operadores unitarios U que no contienen 1 en su espectro. En el caso de las matrices, esto se debe a que las matrices unitarias y autoadjuntas se pueden diagonalizar y sus valores propios se encuentran en el círculo unitario o la línea real. En este escenario de dimensión finita la transformada de Cayley y su inversa establecen una biyección entre las matrices de operador norma menor que uno y operadores con parte imaginaria un operador positivo. Este es el caso especial para A = M n ( C ) del resultado algebraica Jordan, se explica a continuación, la cual afirma que la transformada de Cayley y su inversa establecer una biyección entre el dominio acotado D y el dominio tubo T .
En el caso de matrices, la biyección se deriva de fórmulas resolutivas. [26] De hecho, si la parte imaginaria de T es positiva, entonces T + iI es invertible ya que
En particular, estableciendo y = ( T + iI ) x ,
Equivalentemente
es un operador positivo, por lo que || P ( T ) || <1. Inversamente si || U || <1 entonces I - U es invertible y
Dado que la transformada de Cayley y su inversa conmuta con la transpuesta, también establecen una biyección para matrices simétricas. Esto corresponde al álgebra de Jordan de matrices complejas simétricas, la complexificación de H n ( R ) .
En A = E C, las identidades resolutivas anteriores adoptan la siguiente forma: [27]
y equivalentemente
donde el operador de Bergman B ( x , y ) está definido por B ( x , y ) = I - 2 R ( x , y ) + Q ( x ) Q ( y ) con R ( x , y ) = [ L ( x ), L ( y )] + L ( xy ) . Las inversas aquí están bien definidas. De hecho, en una dirección 1 - u es invertible para || u || <1: esto sigue o bien utilizando el hecho de que la norma satisface || ab || ≤ || a || || b ||; o usando la identidad resolutiva y la invertibilidad de B ( u *, u ) (ver más abajo). En la otra dirección, si la parte imaginaria de a está en C, entonces la parte imaginaria de L ( a ) es definida positiva de modo que a es invertible. Este argumento se puede aplicar a a + i , por lo que también es invertible.
Para establecer la correspondencia, basta con comprobarlo cuando E es simple. En ese caso, se deriva de la conectividad de T y D y porque:
- B ( a *, a ) es un operador positivo si y solo si a o su inverso (si es invertible) se encuentra en D
El primer criterio se deriva del hecho de que los valores propios de Q ( x ) son exactamente λ i λ j si los valores propios de x son λ i . Entonces, las λ i son todas positivas o todas negativas. El segundo criterio se deriva del hecho de que si a = u ∑ α i e i = ux con α i ≥ 0 y u en Γ u ( E C ) , entonces B ( a *, a ) = u * Q (1 - x 2 ) u tiene valores propios (1 - α i 2 ) (1 - α j 2 ) . Entonces, los α i son todos menores que uno o todos mayores que uno.
La identidad resolutiva es una consecuencia de la siguiente identidad para a y b invertible
De hecho, en este caso, las relaciones para un álgebra de Jordan cuadrática implican
así que eso
La igualdad de los dos últimos términos implica la identidad, reemplazando b por - b −1 .
Ahora establezca a = 1 - x y b = 1 - y . La identidad resolutiva es un caso especial de la identidad más general más siguiente:
De echo
entonces la identidad es equivalente a
Usando la identidad anterior junto con Q ( c ) L ( c −1 ) = L ( c ) , el lado izquierdo es igual a Q ( a ) Q ( b ) + Q ( a + b ) - 2 L ( a ) Q ( b ) - 2 Q ( a ) L ( b ) . El lado derecho es igual a 2 L ( a ) L ( b ) + 2 L ( b ) L ( a ) - 2 L ( ab ) - 2 L ( a ) Q ( b ) - 2 Q ( a ) L ( b ) + Q ( a ) Q ( b ) + Q ( a ) + Q ( b ) . Estos son iguales debido a la fórmula1/2[ Q ( a + b ) - Q ( a ) - Q ( b )] = L ( a ) L ( b ) + L ( b ) L ( a ) - L ( ab ) .
Grupo de automorfismo de dominio acotado
Si a se encuentra en el dominio acotado D , entonces a - 1 es invertible. Dado que D es invariante bajo la multiplicación por escalares de módulo ≤ 1, se deduce que a - λ es invertible para | λ | ≥ 1. Por lo tanto, para || a || ≤ 1, a - λ es invertible para | λ | > 1. De ello se deduce que la transformación ga de Möbius se define para || a || ≤ 1 yg en SU (1,1) . Donde se define es inyectivo. Es holomorfa en D . Por el principio de módulo máximo , para mostrar que g mapea D sobre D , basta con mostrar que mapea S sobre sí mismo. Porque en ese caso gy su inversa preservan D deben ser sobreyectivos. Si u = e ix con x = ∑ ξ i e i en E , entonces gu se encuentra en ⊕ C e i . Esta es un álgebra asociativa conmutativa y la norma espectral es la norma suprema. Dado que u = ∑ ς i e i con | ς i | = 1, se sigue que gu = ∑ g (ς i ) e i donde | g (ς i ) | = 1. Así gu mentiras en S .
Ésta es una consecuencia directa de la definición de la norma espectral.
Esto ya se conoce por las transformaciones de Möbius, es decir, la diagonal en SU (1,1) m . Se sigue para matrices diagonales en un componente fijo en SU (1,1) m porque corresponden a transformaciones en el grupo de estructura unitaria. La conjugación mediante una transformación de Möbius es equivalente a la conjugación mediante una matriz en ese componente. Dado que el único subgrupo normal no trivial de SU (1,1) es su centro, cada matriz en un componente fijo lleva a D sobre sí misma.
Dado un elemento en D, una transformación en el componente de identidad del grupo de estructura unitaria lo lleva a un elemento en ⊕ C e i con norma superior menor que 1. Una transformación en SU (1,1) m lo lleva a cero. Por lo tanto hay un grupo transitivo de transformaciones biholomorphic de D . La simetría z ↦ - z es una transformación biholomórfica de Möbius fijando solo 0.
Si f es un automapeo biholomórfico de D con f (0) = 0 y la derivada I en 0, entonces f debe ser la identidad. [28] Si no es así, f tiene una expansión en serie de Taylor f ( z ) = z + f k + f k + 1 ( z ) + ⋅⋅⋅ con f i homogénea de grado i y f k ≠ 0 . Pero entonces f n ( z ) = z + n f k ( z ) . Sea ψ un funcional en A * de la norma uno. Entonces, para z fijo en D , las funciones holomórficas de una variable compleja w dada por h n ( w ) = ψ ( f n ( wz )) deben tener un módulo menor que 1 para | w | <1. Según la desigualdad de Cauchy , los coeficientes de w k deben estar acotados uniformemente independientemente de n , lo que no es posible si f k ≠ 0 .
Si g es un mapeo biholomórfico de D sobre sí mismo simplemente fijando 0, entonces si h ( z ) = e i α z , el mapeo f = g ∘ h ∘ g −1 ∘ h −α fija 0 y tiene la derivada I allí. Por tanto, es el mapa de identidad. Entonces g ( e i α z ) = e i α g ( z ) para cualquier α. Esto implica que g es un mapeo lineal. Dado que mapea D sobre sí mismo, mapea el cierre sobre sí mismo. En particular, debe mapear el límite S de Shilov sobre sí mismo. Esto obliga a g a estar en el grupo de estructura unitaria.
La órbita de 0 bajo A D es el conjunto de todos los puntos ∑ α i e i con −1 <α i <1 . La órbita de estos puntos en el marco del grupo de estructura unitaria es la totalidad de D . La descomposición Cartan sigue porque K D es el estabilizador de 0 en G D .
De hecho, el único punto fijo por (el componente identidad de) K D en D es 0. Singularidad implica que el centro de G D debe fijar 0. De ello se desprende que el centro de G D mentiras en K D . El centro de K D es isomorfo al grupo circular: una rotación a través de θ corresponde a la multiplicación por e i θ en D, por lo que se encuentra en SU (1,1) / {± 1 }. Dado que este grupo tiene un centro trivial, el centro de G D es trivial. [29]
De hecho, cualquier subgrupo compacto más grande se cruzaría A D de manera no trivial y no tiene subgrupos compactos no triviales.
Tenga en cuenta que G D es un grupo de Lie (ver más abajo), por lo que las tres declaraciones anteriores se mantienen con G D y K D reemplazados por sus componentes de identidad, es decir, los subgrupos generados por sus grupos de cub de un parámetro. La unicidad del subgrupo compacto máximo hasta la conjugación se deriva de un argumento general o puede deducirse para dominios clásicos directamente usando la ley de inercia de Sylvester siguiendo a Sugiura (1982) . [30] Para el ejemplo de matrices hermitianas sobre C , esto se reduce a probar que U ( n ) × U ( n ) está a la altura de conjugar el subgrupo compacto máximo único en U ( n , n ) . De hecho, si W = C n ⊕ (0) , entonces U ( n ) x T ( n ) es el subgrupo de U ( n , n ) preservar W . La restricción de la forma hermitiana dada por el producto interno en W menos el producto interno en (0) ⊕ C n . Por otro lado, si K es un subgrupo compacto de U ( n , n ) , hay una K producto interno -invariant en C 2 n obtiene promediando cualquier producto interior con respecto a la medida de Haar en K . La forma hermitiana corresponde a una descomposición ortogonal en dos subespacios de dimensión n ambos invariantes bajo K con la forma positiva definida en uno y negativa definida en el otro. Según la ley de inercia de Sylvester, dados dos subespacios de dimensión n en los que la forma hermitiana es definida positiva, uno es llevado al otro por un elemento de U ( n , n ) . Por tanto, hay un elemento g de U ( n , n ) tal que el subespacio definido positivo viene dado por gW . Entonces gKg −1 deja W invariante y gKg −1 ⊆ U ( n ) × U ( n ) .
Un argumento similar, con cuaterniones la sustitución de los números complejos, espectáculos unicidad aplica el grupo simpléctico, que corresponde a matrices hermitianos más de R . Esto también se puede ver más directamente mediante el uso de estructuras complejas . Una estructura compleja es un operador invertible J con J 2 = - I conservando la forma simpléctica B y tal que - B ( Jx , y ) es un producto interno real. El grupo simpléctico actúa transitivamente sobre estructuras complejas por conjugación. Además, el subgrupo que se desplaza al trabajo con J se identifica naturalmente con el grupo unitario para el correspondiente espacio de producto interno complejo. Singularidad sigue mostrando que cualquier subgrupo compacto K conmuta con alguna estructura compleja J . De hecho, promediando la medida de Haar, hay un producto interno invariante K en el espacio subyacente. La forma simpléctico produce un operador invertible skew-adjoint T desplazamientos con K . El operador S = - T 2 es positivo, por lo que tiene una raíz cuadrada positiva única, que conmuta con K . Así J = S -1/2 T , la fase de T , tiene plaza - I y conmuta con K .
Grupo de automorfismo de dominio de tubo
Hay una descomposición de Cartan para G T correspondiente a la acción sobre el tubo T = E + iC :
- K T es el estabilizador de i en iC ⊂ T , por lo que un subgrupo compacto maximal de G T . Bajo la transformada de Cayley, K T corresponde a K D , el estabilizador de 0 en el dominio simétrico acotado, donde actúa linealmente. Desde G T es semisimple, cada subgrupo compacto maximal es conjugado a K T .
- El centro de G T o G D es trivial. De hecho, el único punto fijado por K D en D es 0. La unicidad implica que el centro de G D debe fijar 0. De ello se deduce que el centro de G D está en K D y, por lo tanto, el centro de G T está en K T . El centro de K D es isomorfo al grupo círculo: una rotación a través corresponde theta a la multiplicación por e i θ en D . En la transformada de Cayley corresponde a la transformación de Möbius z ↦ ( cz + s ) (- sz + c ) −1 donde c = cos θ / 2 y s = sin θ / 2. (En particular, cuando θ = π, esto da la simetría j ( z ) = - z −1 .) De hecho, todas las transformaciones de Möbius z ↦ (α z + β) (- γ z + δ) −1 con αδ - βγ = 1 se encuentran en G T . Dado que PSL (2, R ) tiene un centro trivial, el centro de G T es trivial. [31]
- A T viene dada por los operadores lineales Q ( a ) con a = ∑ α i e i con α i > 0.
De hecho la descomposición Cartan para G T se sigue de la descomposición para G D . Dado z en D , hay un elemento u en K D , el componente de identidad de Γ u ( E C ) , tal que z = u ∑ α j e j con α j ≥ 0 . Desde || z || <1, se deduce que α j <1 . Tomando la transformada de Cayley z , se sigue que cada w en T se puede escribir w = k ∘ C Σ α j e j , con C la Cayley transformar y k en K T . Dado que C ∑ α i e i = ∑ β j e j i con β j = (1 + α j ) (1 - α j ) −1 , el punto w es de la forma w = ka ( i ) con a en A . Por lo tanto G T = K T A T K T .
Álgebras de Lie de 3 grados
Descomposición de Iwasawa
Hay una descomposición de Iwasawa para G T correspondiente a la acción sobre el tubo T = E + iC : [32]
- K T es el estabilizador de i en iC ⊂ T .
- A T viene dada por los operadores lineales Q ( a ) donde a = ∑ α i e i con α i > 0.
- N T es un grupo unitriangular más bajo en E C . Es el producto semidirecto del grupo triangular unipotente N que aparece en la descomposición Iwasawa de G (el grupo de simetría de C ) y N 0 = E , grupo de traslaciones x ↦ x + b .
El grupo S = AN actúa sobre E linealmente y la conjugación sobre N 0 reproduce esta acción. Dado que el grupo S actúa simplemente de forma transitiva sobre C , se deduce que AN T = S ⋅ N 0 actúa simplemente de forma transitiva sobre T = E + iC . Deje H T sea el grupo de biholomorphisms del tubo T . El Cayley transformar muestra que es isomorfo al grupo H D de biholomorphisms del dominio acotado D . Dado que AN T actúa simplemente de forma transitiva sobre el tubo T mientras que K T fija ic , tienen una intersección trivial.
Dado g en H T , tome s en AN T tal que g −1 ( i ) = s −1 ( i ). entonces gs -1 correcciones de i y por lo tanto se encuentra en K T . Por lo tanto H T = K T ⋅ A ⋅ N T . Entonces el producto es un grupo.
Estructura del grupo de mentiras
Como resultado de Henri Cartan , H D es un grupo de Lie. La prueba original de Cartan se presenta en Narasimhan (1971) . También se puede deducir del hecho de que la D es completa para la métrica de Bergman , para la cual las isometrías forman un grupo de Lie; según el teorema de Montel , el grupo de biholomorfismos es un subgrupo cerrado. [33]
En este caso, se puede ver directamente que H T es un grupo de Lie. De hecho, existe un álgebra de Lie de 3 grados de dimensión finitade campos vectoriales con una involución σ. La forma de Killing es definida negativa en el espacio propio +1 de σ y definida positiva en el espacio propio -1. Como grupo H T normalizaya que los dos subgrupos K T y AN T lo hacen. Los +1 espacio propio corresponde al álgebra de Lie de K T . De manera similar, las álgebras de Lie del grupo lineal AN y el grupo afín N 0 se encuentran en. Dado que el grupo G T tiene un centro trivial, el mapa en GL () es inyectable. Dado que K T es compacto, su imagen en GL () es compacto. Desde el álgebra de Liees compatible con la de AN T , la imagen de AN T está cerrada. Por tanto, la imagen del producto es cerrada, ya que la imagen de K T es compacta. Dado que es un subgrupo cerrado, se deduce que H T es un grupo de Lie.
Generalizaciones
Las álgebras euclidianas de Jordan se pueden utilizar para construir espacios simétricos hermitianos de tipo tubo. Los restantes espacios simétricos hermitianos son dominios de Siegel del segundo tipo. Pueden construirse utilizando sistemas triples de Jordan euclidianos , una generalización de las álgebras de Jordan euclidianas. De hecho, para un álgebra de Jordan euclidiana E ,
Entonces L ( a , b ) da un mapa bilineal en el extremo E tal que
y
Cualquier sistema bilineal de este tipo se denomina sistema triple euclidiano de Jordania . Por definición, la operadores L ( un , b ) formar una subálgebra de Lie de Fin E .
La construcción de Kantor-Koecher-Tits da una correspondencia uno a uno entre los sistemas triples de Jordan y las álgebras de Lie de 3 grados.
satisfactorio
y equipado con un automorfismo involutivo σ que invierte la graduación. En este caso
define un sistema triple de Jordan en . En el caso de las álgebras euclidianas de Jordan o sistemas triples, la construcción de Kantor-Koecher-Tits se puede identificar con el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los automorfismos homomórficos del dominio simétrico acotado correspondiente . El álgebra de Lie se construye tomando ser la subálgebra de mentira del extremo E generado por L ( a , b ) ya ser copias de E . El corchete de Lie viene dado por
y la involución por
La forma de Matar viene dada por
donde β ( T 1 , T 2 ) es la forma bilineal simétrica definida por
Estas fórmulas, originalmente derivadas de las álgebras de Jordan, funcionan igualmente bien para los sistemas triples de Jordan. [34] El relato de Koecher (1969) desarrolla la teoría de dominios simétricos acotados a partir del punto de vista de las álgebras de Lie de 3 grados. Para un espacio vectorial E de dimensión finita dado , Koecher considera álgebras de Lie de dimensión finitade campos vectoriales en E con coeficientes polinomiales de grado ≤ 2.consta de los campos vectoriales constantes ∂ i ydebe contener el operador de Euler H = ∑ x i ⋅∂ i como elemento central. Requerir la existencia de una involución σ conduce directamente a una estructura triple de Jordan en V como se indicó anteriormente. Como para todas las estructuras triples de Jordan, fijando c en E , los operadores L c ( a ) = L ( a , c ) dan a E una estructura de álgebra de Jordan, determinada por e . Los propios operadores L ( a , b ) provienen de una estructura de álgebra de Jordan como arriba si y solo si hay operadores adicionales E ± ende modo que H , E ± dé una copia de. El elemento correspondiente del grupo de Weyl implementa la involución σ. Este caso corresponde al de las álgebras euclidianas de Jordan.
Los casos restantes son construidos uniformemente por Koecher usando involuciones de álgebras de Jordan euclidianas simples. [35] Sea E un álgebra de Jordan euclidiana simple y τ un automorfismo del álgebra de Jordan de E del período 2. Por lo tanto, E = E +1 ⊕ E −1 tiene una descomposición del espacio propio para τ con E +1 una subálgebra de Jordan y E −1 un módulo. Además, un producto de dos elementos en E −1 se encuentra en E +1 . Para a , b , c en E −1 , establezca
y ( a , b ) = Tr L ( ab ). Entonces F = E -1 es un simple sistema triple euclidiana Jordan, obtenido mediante la restricción del sistema de triple en E a F . Koecher exhibe involuciones explícitas de álgebras de Jordan euclidianas simples directamente (ver más abajo). Estos sistemas triples de Jordan corresponden a espacios simétricos hermitianos irreductibles dados por dominios de Siegel del segundo tipo. En la lista de Cartan, sus duales compactos son SU ( p + q ) / S (U ( p ) × U ( q )) con p ≠ q (AIII), SO (2 n ) / U ( n ) con n impar (DIII ) y E 6 / SO (10) × U (1) (EIII).
Ejemplos de
- F es el espacio de p por q matrices sobre R con p ≠ q . En este caso L ( a , b ) c = ab t c + cb t a con producto interno ( a , b ) = Tr ab t . Esta es la construcción de Koecher para la involución en E = H p + q ( R ) dada por la conjugación de la matriz diagonal con p entradas digitales iguales a 1 yq a −1.
- F es el espacio de matrices reales de m por m con simetría oblicua. En este caso L ( a , b ) c = abc + cba con producto interno ( a , b ) = −Tr ab . Después de eliminar un factor de √ (-1), esta es la construcción de Koecher aplicada a la conjugación compleja en E = H n ( C ).
- F es la suma directa de dos copias de los números de Cayley, consideradas como matrices de 1 por 2. Este triple sistema se obtiene mediante la construcción de Koecher para la involución canónica definida por cualquier idempotente mínimo en E = H 3 ( O ).
La clasificación de los sistemas triples de Jordania euclidiana se ha logrado generalizando los métodos de Jordan, von Neumann y Wigner, pero las demostraciones son más complicadas. [36] Los métodos geométricos diferenciales anteriores de Kobayashi y Nagano (1964) , que invocan un álgebra de Lie de 3 grados, y de Loos (1971) , Loos (1985) conducen a una clasificación más rápida.
Notas
- ↑ Este artículo utiliza como fuentes principales a Jordan, von Neumann & Wigner (1934) , Koecher (1999) y Faraut & Koranyi (1994) , adoptando la terminología y algunas simplificaciones de esta última.
- ^ Faraut y Koranyi 1994 , págs. 2-4
- ^ Para obtener una prueba de equivalencia, consulte:
- Koecher 1999 , pág. 118, Teorema 12
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- ^ Loos 1977 , p. 3.15-3.16
- ^ Wright 1977 , págs. 296–297
- ^ Véase Faraut y Koranyi (1994 , págs. 73, 202–203) y Rudin (1973 , págs. 270–273). Por dimensionalidad finita, cada punto en el lapso convexa de S es la combinación convexa de n + 1 puntos, en los que n = 2 dim E . Entonces, el tramo convexo de S ya es compacto y es igual a la bola unitaria cerrada.
- ^ Wright 1977 , págs. 296–297
- ^ Faraut y Koranyi 1994 , págs. 154-158
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- ↑ Folland , 1989 , págs. 203-204.
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- ^ Faraut y Koranyi 1994 , págs. 204-205
- ^ Faraut y Koranyi 1994 , p. 208
- ^ Nótese que el argumento elemental de Igusa (1972 , p. 23) citado en Folland (1989) está incompleto.
- ^ Faraut y Koranyi 1994 , p. 208
- ^ Faraut y Koranyi 1994 , p. 334
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