En la teoría matemática de los sistemas numéricos posicionales no estándar , la constante de Komornik-Loreti es una constante matemática que representa la base más pequeña q para la cual el número 1 tiene una representación única, llamada su desarrollo q . La constante lleva el nombre de Vilmos Komornik y Paola Loreti , quienes la definieron en 1998. [1]
Definición
Dado un número real q > 1, la serie
se llama expansión q , o-expansión , del número real positivo x si, para todos, , dónde es la función de piso yno es necesario que sea un número entero. Cualquier número real tal que tiene tal expansión, como se puede encontrar usando el algoritmo codicioso .
El caso especial de , , y o 1 a veces se llama -desarrollo. da el unico 2-desarrollo. Sin embargo, para casi todos, hay un número infinito de diferentes -desarrollos. Sin embargo, lo que es aún más sorprendente, existen excepcionales para lo cual solo existe una -desarrollo. Además, hay un número mínimo conocida como la constante de Komornik-Loreti para la cual existe una -desarrollo. [2]
Valor
La constante de Komornik – Loreti es el valor tal que
dónde es la secuencia Thue-Morse , es decir, es la paridad del número de unos en la representación binaria de . Tiene valor aproximado
El constante es también la raíz real positiva única de
Esta constante es trascendental . [4]
Ver también
Referencias
- ^ Komornik, Vilmos; Loreti, Paola (1998), "Desarrollos únicos en bases no enteras", American Mathematical Monthly , 105 (7): 636–639, doi : 10.2307 / 2589246 , JSTOR 2589246 , MR 1633077
- ^ Weissman, Eric W. "q-expansion" de Wolfram MathWorld . Consultado el 18 de octubre de 2009.
- ^ Weissman, Eric W. "Komornik – Loreti Constant". De Wolfram MathWorld . Consultado el 27 de diciembre de 2010.
- ^ Allouche, Jean-Paul; Cosnard, Michel (2000), "La constante de Komornik-Loreti es trascendental", American Mathematical Monthly , 107 (5): 448–449, doi : 10.2307 / 2695302 , JSTOR 2695302 , MR 1763399