En los procesos estocásticos , la expansión Kramers-Moyal se refiere a una expansión en serie de Taylor de la ecuación maestra , que lleva el nombre de Hans Kramers y José Enrique Moyal . [1] [2] Esta expansión transforma la ecuación maestra integro-diferencial
dónde (por brevedad, esta probabilidad se denota por ) es la densidad de probabilidad de transición, a una ecuación diferencial parcial de orden infinito [3] [4] [5]
dónde
Aquí es la tasa de probabilidad de transición . La ecuación de Fokker-Planck se obtiene manteniendo solo los dos primeros términos de la serie en la quees la deriva y es el coeficiente de difusión.
Teorema de pawula
El teorema de Pawula establece que la expansión se detiene después del primer término o del segundo término. [6] [7] Si la expansión continúa después del segundo término, debe contener un número infinito de términos, para que la solución de la ecuación sea interpretable como una función de densidad de probabilidad. [8]
Implementaciones
- Implementación en Python: https://github.com/LRydin/KramersMoyal [9]
Referencias
- ^ Kramers, HA (1940). "Movimiento browniano en un campo de fuerza y modelo de difusión de reacciones químicas". Physica . 7 (4): 284-304. Bibcode : 1940Phy ..... 7..284K . doi : 10.1016 / S0031-8914 (40) 90098-2 .
- ^ Moyal, JE (1949). "Procesos estocásticos y física estadística". Revista de la Royal Statistical Society . Serie B (Metodológica). 11 (2): 150–210. JSTOR 2984076 .
- ^ Gardiner, C. (2009). Métodos estocásticos (4ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-642-08962-6.
- ^ Van Kampen, NG (1992). Procesos estocásticos en física y química . Elsevier. ISBN 0-444-89349-0.
- ^ Risken, H. (1996). La ecuación de Fokker-Planck . Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 63–95. ISBN 3-540-61530-X.
- ^ Pawula, RF (1967). "Generalizaciones y extensiones de las ecuaciones de Fokker-Planck-Kolmogorov" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 13 (1): 33–41. doi : 10.1109 / TIT.1967.1053955 .
- ^ Pawula, RF (1967). "Aproximación de la ecuación lineal de Boltzmann por la ecuación de Fokker-Planck". Revisión física . 162 (1): 186–188. doi : 10.1103 / PhysRev.162.186 .
- ^ Risken, Hannes (6 de diciembre de 2012). Ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones . ISBN 9783642968075.
- ^ Rydin Gorjão, L .; Meirinhos, F. (2019). "kramersmoyal: Kramers - coeficientes de Moyal para procesos estocásticos" . Revista de software de código abierto . 4 (44): 1693. Bibcode : 2019JOSS .... 4.1693G . doi : 10.21105 / joss.01693 .