La fórmula de Kubo , llamada así por Ryogo Kubo, quien presentó la fórmula por primera vez en 1957, [1] [2] es una ecuación que expresa la respuesta lineal de una cantidad observable debido a una perturbación dependiente del tiempo .
Entre las numerosas aplicaciones de la fórmula de Kubo, se pueden calcular las susceptibilidades de carga y espín de los sistemas de electrones en respuesta a los campos eléctricos y magnéticos aplicados. También se pueden calcular las respuestas a fuerzas mecánicas externas y vibraciones.
Fórmula general de Kubo
Considere un sistema cuántico descrito por el Hamiltoniano (independiente del tiempo) . El valor esperado de una cantidad física, descrito por el operador., se puede evaluar como:
dónde es la función de partición . Supongamos ahora que justo por encima de algún tiempose aplica una perturbación externa al sistema. La perturbación se describe mediante una dependencia temporal adicional en el hamiltoniano: dónde es la función Heaviside (= 1 para tiempos positivos, = 0 en caso contrario) yes hermitiano y definido para todo t , de modo que tiene por positivo de nuevo un conjunto completo de valores propios reales Pero estos valores propios pueden cambiar con el tiempo.
Sin embargo, se puede volver a encontrar la evolución temporal de la matriz de densidad. rsp. de la función de partición para evaluar el valor esperado de
La dependencia temporal de los estados. se rige por la ecuación de Schrödinger que así determina todo, correspondiente por supuesto a la imagen de Schrödinger . Pero desdedebe considerarse como una pequeña perturbación, es conveniente utilizar ahora en su lugar la representación de imagen de interacción ,en el orden no trivial más bajo. La dependencia del tiempo en esta representación viene dada por donde por definición para todo t y es:
Al orden lineal en , tenemos . Así se obtiene el valor esperado de hasta el orden lineal en la perturbación.
Los corchetes significa un promedio de equilibrio con respecto al hamiltoniano Por lo tanto, aunque el resultado es de primer orden en la perturbación, solo involucra las funciones propias de orden cero, que suele ser el caso en la teoría de la perturbación y aleja todas las complicaciones que de otro modo podrían surgir para .
La expresión anterior es válida para cualquier tipo de operador. (ver también Segunda cuantificación ) [3]
Ver también
Referencias
- ^ Kubo, Ryogo (1957). "Teoría estadístico-mecánica de procesos irreversibles. I. Teoría general y aplicaciones simples a problemas magnéticos y de conducción" . J. Phys. Soc. Jpn . 12 : 570–586. doi : 10.1143 / JPSJ.12.570 .
- ^ Kubo, Ryogo; Yokota, Mario; Nakajima, Sadao (1957). "Teoría estadístico-mecánica de procesos irreversibles. II. Respuesta a perturbaciones térmicas". J. Phys. Soc. Jpn . 12 : 1203-1211. doi : 10.1143 / JPSJ.12.1203 .
- ^ Mahan, GD (1981). mucha física de partículas . Nueva York: springer. ISBN 0306463385.