Modelo de mercado LIBOR

El modelo de mercado LIBOR , también conocido como Modelo BGM ( Brace Gatarek Musiela Model , en referencia a los nombres de algunos de los inventores) es un modelo financiero de tasas de interés . ^[1] Se utiliza para fijar el precio de derivados de tasas de interés , especialmente derivados exóticos como swaptions de Bermudan, trinquetes y pisos, notas de redención objetivo, autocaps, swaptions de cupón cero, swaps de vencimiento constante y opciones de margen , entre muchos otros. Las cantidades que se modelan, en lugar de la tasa corta o las tasas a plazo instantáneas (como en el marco de Heath-Jarrow-Morton ) son un conjunto detipos a plazo (también denominados LIBOR a plazo ), que tienen la ventaja de ser directamente observables en el mercado y cuyas volatilidades están naturalmente vinculadas a los contratos negociados. Cada tipo de interés a plazo se modela mediante un proceso logarítmico normal con arreglo a su medida a plazo , es decir, un modelo negro que conduce a una fórmula negra para topes de tipos de interés.. Esta fórmula es el estándar de mercado para cotizar los precios de capitalización en términos de volatilidades implícitas, de ahí el término "modelo de mercado". El modelo de mercado LIBOR puede interpretarse como una colección de dinámicas LIBOR a plazo para diferentes tipos a plazo con plazos y vencimientos que abarcan, cada tipo a plazo es coherente con una fórmula de caplet de tipos de interés Black para su vencimiento canónico. Se pueden escribir las diferentes dinámicas de tipos bajo una medida de precios común , por ejemplo, la medida a plazo para un vencimiento único preferido, y en este caso los tipos a plazo no serán lognormales bajo la medida única en general, lo que lleva a la necesidad de métodos numéricos como simulación de monte carlo o aproximaciones como la suposición de deriva congelada.

Modelo dinámico [ editar ]

El modelo de mercado LIBOR modela un conjunto de tipos a plazo , como procesos lognormales . Bajo la respectiva medida-Forward $n$ $L_{j}$ $j=1,\ldots ,n$ $T_{j}$ $Q_{T_{j+1}}$

dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t){\text{.}}

^[2]

Aquí podemos considerar eso (proceso centrado). Aquí está la tasa a plazo para el período . Para cada tipo de interés a plazo único, el modelo corresponde al modelo Black. $\mu _{j}(t)=0,\forall t$ $L_{j}$ $[T_{j},T_{j+1}]$

La novedad es que, a diferencia del modelo Black , el modelo de mercado LIBOR describe la dinámica de toda una familia de tipos forward bajo una medida común. La pregunta ahora es cómo cambiar entre las diferentes medidas-Forward. Mediante el teorema multivariado de Girsanov se puede demostrar ^[3]^[4] que $T$

dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad \quad j>p\\\end{cases}}

y

dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\quad \qquad j>p\\\end{cases}}

Referencias [ editar ]

^ M. Musiela, M. Rutkowski: métodos martingala en modelos financieros. 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Imprimir.
^ https://livre.fnac.com/a2698675/Olivier-Drean-Le-guide-de-la-pratique-de-la-finance
^ D. Papaioannou (2011): "Teorema de Girsanov multidimensional aplicado", SSRN
^ "Un acompañamiento a un curso sobre modelado de tasas de interés: con una discusión de los modelos Black-76, Vasicek y HJM y una suave introducción al modelo de mercado LIBOR multivariante"

Literatura [ editar ]

Brace, A., Gatarek, D. y Musiela, M. (1997): “El modelo de mercado de la dinámica de las tasas de interés”, Finanzas matemáticas, 7 (2), 127-154.
Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D., (1997): "Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura temporal con tasas de interés logarítmicas normales", Journal of Finance, 52 (1), 409-430.
Wernz, J. (2020): “Gestión y control bancario”, Springer Nature, 85-88

Enlaces externos [ editar ]

Applets de Java para la fijación de precios bajo un modelo de mercado LIBOR y métodos Monte-Carlo
Código fuente y hoja de cálculo de Jave de un modelo de mercado LIBOR, incluida la calibración para el intercambio y la valoración del producto
Apuntes de la conferencia de Damiano Brigo sobre el modelo de mercado LIBOR para el curso de renta fija de la Universidad Bocconi

[1] M. Musiela, M. Rutkowski: métodos martingala en modelos financieros. 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Imprimir.

[2] ttps://livre.fnac.com/a2698675/Olivier-Drean-Le-guide-de-la-pratique-de-la-finance

[3] D. Papaioannou (2011): "Teorema de Girsanov multidimensional aplicado", SSRN

[4] "Un acompañamiento a un curso sobre modelado de tasas de interés: con una discusión de los modelos Black-76, Vasicek y HJM y una suave introducción al modelo de mercado LIBOR multivariante"

[1]

vtmiProcesos estocásticos
Tiempo discreto	Proceso de Bernoulli Proceso de ramificación Proceso de restaurante chino Proceso de Galton-Watson Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Cadena de Markov Proceso de Moran Caminata aleatoria Bucle borrado Auto-evitándose Tendencioso Entropía máxima
Tiempo continuo	Proceso aditivo Proceso de Bessel Proceso de nacimiento-muerte puro nacimiento movimiento browniano Puente Excursión Fraccionario Geométrico Meandro Proceso de Cauchy Proceso de contacto Caminata aleatoria en tiempo continuo Proceso de Cox Proceso de difusión Proceso empírico Proceso de Feller Proceso Fleming-Viot Proceso gamma Proceso geométrico Proceso de Hawkes Proceso de caza Sistemas de partículas interactuantes Itô difusión Itô proceso Difusión de salto Proceso de salto Proceso Lévy Hora local Proceso aditivo de Markov Proceso de McKean-Vlasov Proceso de Ornstein-Uhlenbeck Proceso de Poisson Compuesto No homogéneo Evolución de Schramm-Loewner Semimartingale Sigma-martingala Proceso estable Superproceso Proceso de telégrafo Proceso de varianza gamma Proceso de salchicha Salchicha salchicha
Ambas cosas	Proceso de ramificación Modelo de Galves – Löcherbach Proceso gaussiano Modelo oculto de Markov (HMM) Proceso de Markov Martingala Diferencias Local Sub- Súper- Sistema dinámico aleatorio Proceso regenerativo Proceso de renovación Cadenas estocásticas con memoria de longitud variable ruido blanco
Campos y otros	Proceso de Dirichlet Campo aleatorio gaussiano Medida de Gibbs Modelo Hopfield Modelo de ising Modelo de potts Red booleana Campo aleatorio de Markov Filtración Proceso Pitman-Yor Proceso de puntos Timonel Poisson Campo aleatorio Gráfico aleatorio
Modelos de series de tiempo	Modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) Modelo de media móvil integrada autorregresiva (ARIMA) Modelo autorregresivo (AR) Modelo de media móvil autorregresiva (ARMA) Modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada (GARCH) Modelo de media móvil (MA)
Modelos financieros	Modelo de precios de opciones binomiales Black – Derman – Toy Black – Karasinski Scholes negro Chen Elasticidad de varianza constante (CEV) Cox – Ingersoll – Ross (CIR) Garman – Kohlhagen Heath – Jarrow – Morton (HJM) Heston Ho – Lee Casco – Blanco Mercado LIBOR Rendleman – Bartter Volatilidad SABR Vašíček Wilkie
Modelos actuariales	Bühlmann Cramér – Lundberg Proceso de riesgo Sparre – Anderson
Modelos de colas	A granel Líquido Red de colas generalizada M / G / 1 M / M / 1 M / M / c
Propiedades	Caminos de Càdlàg Continuo Caminos continuos Ergódico Cambiable Feller-continuo Gauss – Markov Markov Mezclar Determinista por partes Previsible Progresivamente medible Auto-similar Estacionario Tiempo reversible
Teoremas de límite	Teorema del límite central Teorema de Donsker Teoremas de convergencia de la martingala de Doob Teorema ergódico Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko Principio de gran desviación Ley de los grandes números (débil / fuerte) Ley del logaritmo iterado Teorema ergódico máximo Teorema de Sanov Leyes cero-uno ( Blumenthal , Borel-Cantelli , Engelbert-Schmidt , Hewitt-Savage , Kolmogorov , Lévy )
Desigualdades	Burkholder – Davis – Gundy Martingala de Doob Doob está cruzando Kunita – Watanabe
Herramientas	Fórmula de Cameron-Martin Convergencia de variables aleatorias Exponencial de Doléans-Dade Teorema de descomposición de Doob Teorema de descomposición de Doob-Meyer Teorema de detención opcional de Doob Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman-Kac Filtración Teorema de girsanov Generador infinitesimal Itô integral El lema de Itô Teorema de Karhunen-Loève Teorema de continuidad de Kolmogorov Teorema de extensión de Kolmogorov Métrica de Lévy-Prokhorov Cálculo de Malliavin Teorema de representación de martingala Teorema de parada opcional Teorema de Prokhorov Variación cuadrática Principio de reflexión Integral de Skorokhod Teorema de representación de Skorokhod Espacio Skorokhod Sobre de Snell Ecuación diferencial estocástica Tanaka Detener el tiempo Integral de Stratonovich Integrabilidad uniforme Hipótesis habituales Espacio Wiener Clásico Abstracto
Disciplinas	Matemática actuarial Teoría de control Econometría Teoría ergódica Teoría del valor extremo (EVT) Teoría de las grandes desviaciones Finanzas matemáticas Estadística matemática Teoría de probabilidad Teoría de las colas Teoría de la renovación Teoría de la ruina Procesamiento de la señal Estadísticas Diseño de sistema en chip Análisis estocástico Análisis de series temporales Aprendizaje automático
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