En la teoría de la probabilidad , el teorema de Girsanov (llamado así por Igor Vladimirovich Girsanov ) describe cómo cambia la dinámica de los procesos estocásticos cuando la medida original se cambia a una medida de probabilidad equivalente . [1] : 607 El teorema es especialmente importante en la teoría de las matemáticas financieras, ya que dice cómo convertir a partir de la medida física , que describe la probabilidad de que un instrumento subyacente (como el precio de una acción o la tasa de interés ) tome un valor particular. o valores, a lamedida neutral al riesgo que es una herramienta muy útil para fijar el precio de los derivados sobre el instrumento subyacente.
Historia
Los resultados de este tipo fueron probados por primera vez por Cameron-Martin en la década de 1940 y por Girsanov en 1960. [2] Posteriormente se han extendido a clases más generales de procesos que culminan en la forma general de Lenglart (1977). [3]
Significado
El teorema de Girsanov es importante en la teoría general de los procesos estocásticos, ya que permite el resultado clave de que si Q es una medida absolutamente continua con respecto a P, entonces cada P - semimartingala es una Q- semimartingala.
Declaración
Primero establecemos el teorema para el caso especial en el que el proceso estocástico subyacente es un proceso de Wiener . Este caso especial es suficiente para la fijación de precios neutrales al riesgo en el modelo Black-Scholes y en muchos otros modelos (por ejemplo, todos los modelos continuos).
Dejar ser un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad de Wiener . Dejarser un proceso medible adaptado a la filtración natural del proceso Wiener con .
Definir la exponencial de Doléans-Dade de X con respecto a W
dónde es la variación cuadrática de. Sies una martingala estrictamente positiva , una medida de probabilidad Q se puede definir ende tal manera que tenemos la derivada Radon-Nikodym
Luego, para cada t, la medida Q se restringe a los campos sigma no aumentadoses equivalente a P restringido a. Además, si Y es una martingala local bajo P , entonces el proceso
es una Q martingala local en el espacio de probabilidad filtrado .
Corolario
Si X es un proceso continuo y W es un movimiento browniano bajo la medida P, entonces
es el movimiento browniano bajo Q .
El hecho de que es continuo es trivial; según el teorema de Girsanov es una martingala local Q , y calculando la variación cuadrática
de la caracterización de Lévy del movimiento browniano se sigue que se trata de un movimiento Q browniano.
Comentarios
En muchas aplicaciones comunes, el proceso X se define por
Si X tiene esta forma, entonces una condición suficiente paraser una martingala es la condición de Novikov , que requiere que
El exponencial estocástico es el proceso Z , que resuelve la ecuación diferencial estocástica
La medida Q construida arriba no es equivalente a P en, ya que este solo sería el caso si la derivada Radon-Nikodym fuera una martingala integrable uniformemente, que la martingala exponencial descrita anteriormente no es (por).
Solicitud de financiación
En finanzas, el teorema de Girsanov se usa cada vez que se necesita derivar la dinámica de un activo o tasa bajo una nueva medida de probabilidad. El caso más conocido es pasar de la medida histórica P a la medida neutral al riesgo Q, que se realiza, en el modelo de Black-Scholes, a través de la derivada Radon-Nikodym :
dónde denota la tasa libre de riesgo instantánea, la deriva del activo y su volatilidad.
Otras aplicaciones clásicas del teorema de Girsanov son los ajustes de cuantos y el cálculo de las derivaciones a plazo según el modelo de mercado LIBOR .
Ver también
Referencias
- ^ Musiela, M .; Rutkowski, M. (2004). Métodos Martingala en el modelado financiero (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
- ^ Girsanov, IV (1960). "Sobre la transformación de una determinada clase de procesos estocásticos mediante la sustitución absolutamente continua de medidas". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 5 (3): 285-301. doi : 10.1137 / 1105027 .
- ^ Lenglart, É. (1977). "Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit . 39 (1): 65–70. doi : 10.1007 / BF01844873 .
- Calin, Ovidiu (2015). Una introducción informal al cálculo estocástico con aplicaciones . Singapur: World Scientific Publishing. pag. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (Ver Capítulo 10)
- Dellacherie, C .; Meyer, P.-A. (1980). Probabilités et potentiel: Théorie de Martingales: Chapitre VII (en francés). París: Hermann. ISBN 2-7056-1385-4.
enlaces externos
- Notas sobre cálculo estocástico que contiene una demostración de esquema simple del teorema de Girsanov.
- Papaioannou, Denis (14 de julio de 2012). "Teorema de Girsanov multidimensional aplicado". SSRN 1805984 . Cite journal requiere
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( ayuda ) Contiene aplicaciones financieras del teorema de Girsanov.