Modelo negro

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El modelo Black (a veces conocido como el modelo Black-76 ) es una variante del modelo de precios de opciones de Black-Scholes . Sus aplicaciones principales son para opciones de precios en contratos futuros , opciones de bonos , topes y pisos de tasas de interés y canjes . Se presentó por primera vez en un artículo escrito por Fischer Black en 1976.

El modelo de Black se puede generalizar en una clase de modelos conocidos como modelos progresivos logarítmicos normales, también denominados modelo de mercado LIBOR .

La fórmula negra

La fórmula de Black es similar a la fórmula de Black-Scholes para valorar las opciones sobre acciones, excepto que el precio al contado del subyacente se reemplaza por un precio de futuros con descuento F.

Suponga que existe una tasa de interés libre de riesgo constante r y el precio de futuros F (t) de un subyacente particular es logarítmico normal con volatilidad constante σ . Entonces, la fórmula negra establece que el precio de una opción de compra europea de vencimiento T en un contrato de futuros con precio de ejercicio K y la fecha de entrega T ' (con ) es${\displaystyle T'\geq T}$

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

El precio de venta correspondiente es

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

dónde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

y N (.) es la función de distribución normal acumulada .

Tenga en cuenta que T' no aparece en las fórmulas a pesar de que podría ser mayor que T . Esto se debe a que los contratos de futuros se ajustan al mercado y, por lo tanto, la recompensa se realiza cuando se ejerce la opción. Si consideramos una opción sobre un contrato a plazo que vence en el momento T '> T , el pago no ocurre hasta T' . Por lo tanto, el factor de descuento se reemplaza por ya que se debe tener en cuenta el valor temporal del dinero . La diferencia en los dos casos se desprende de la siguiente derivación.${\displaystyle e^{-rT}}$${\displaystyle e^{-rT'}}$

Derivación y supuestos

La fórmula de Black se deriva fácilmente del uso de la fórmula de Margrabe , que a su vez es una aplicación simple, pero inteligente, de la fórmula de Black-Scholes .

El pago de la opción de compra sobre el contrato de futuros es máximo (0, F (T) - K) . Podemos considerar esta opción de un intercambio (Margrabe), considerando el primer activo de ser y el segundo activo a ser el bono sin riesgo pagando $ 1 en el tiempo t . Luego, la opción de compra se ejerce en el momento T cuando el primer activo vale más que K bonos sin riesgo. Los supuestos de la fórmula de Margrabe se satisfacen con estos activos.${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$

Lo único que queda por comprobar es que el primer activo es efectivamente un activo. Esto puede verse al considerar una cartera formada en el tiempo 0 al ir durante mucho tiempo un avance contrato con fecha de entrega T y cortas (0) F bonos libres de riesgo (nota que en virtud de la tasa de interés determinista, los precios a plazo y de futuros son iguales para que no haya ambigüedad aquí). A continuación, en cualquier momento t se puede descansar su obligación para el contrato a plazo por un cortocircuito en otra adelante con la misma fecha de entrega para obtener la diferencia de precios a plazo, pero con descuento a valor presente: . Liquidar los bonos sin riesgo F (0) , cada uno de los cuales vale , da como resultado un pago neto de .${\displaystyle e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]}$${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$

Ver también

• Matemáticas financieras
• Scholes negro
• Descripción de aplicaciones
  • Opción de fianza # Valoración
  • Contrato de futuros #Opciones sobre futuros
  • Tope y piso de la tasa de interés #Modelo negro
  • Swaption #Valuation

Referencias

• Negro, Fischer (1976). El precio de los contratos de productos básicos, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. y Steven W. Kohlhagen (1983). Valores de opciones en moneda extranjera, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D., (1997): "Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura temporal con tasas de interés logarítmicas normales", Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

Enlaces externos

Discusión

• Opciones de bonos, límites y el modelo negro Dra. Milica Cudina, Universidad de Texas en Austin

Herramientas en línea

• Calculadora de comprimidos y minidiscos Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters