El principio de invariancia de LaSalle (también conocido como principio de invariancia , [1] principio de Barbashin-Krasovskii-LaSalle , [2] o principio de Krasovskii-LaSalle ) es un criterio para la estabilidad asintótica de un sistema dinámico autónomo (posiblemente no lineal) .
Versión global
Suponga que un sistema se representa como
dónde es el vector de variables, con
Si un (ver Suavidad ) función se puede encontrar de tal manera que
- para todos (semidefinido negativo),
entonces el conjunto de puntos de acumulación de cualquier trayectoria está contenido en dónde es la unión de trayectorias completas contenidas íntegramente en el conjunto .
Si además tenemos que la función es positivo definido, es decir
- , para todos
y si no contiene ninguna trayectoria del sistema excepto la trayectoria trivial por , entonces el origen es asintóticamente estable .
Además, si es radialmente ilimitado, es decir
- , como
entonces el origen es globalmente asintóticamente estable .
Versión local
Si
- , Cuándo
mantener solo por en algún barrio del origen, y el conjunto
no contiene ninguna trayectoria del sistema además de la trayectoria , entonces la versión local del principio de invariancia establece que el origen es localmente asintóticamente estable .
Relación con la teoría de Lyapunov
Si es definida negativa , la estabilidad asintótica global del origen es una consecuencia del segundo teorema de Lyapunov . El principio de invariancia proporciona un criterio de estabilidad asintótica en el caso en quees solo semidefinido negativo .
Ejemplo: el péndulo con fricción
En esta sección se aplicará el principio de invariancia para establecer la estabilidad asintótica local de un sistema simple, el péndulo con fricción. Este sistema se puede modelar con la ecuación diferencial [1]
dónde es el ángulo que forma el péndulo con la normal vertical, es la masa del péndulo, es la longitud del péndulo, es el coeficiente de fricción y g es la aceleración debida a la gravedad.
Esto, a su vez, se puede escribir como el sistema de ecuaciones
Usando el principio de invariancia, se puede demostrar que todas las trayectorias que comienzan en una bola de cierto tamaño alrededor del origen convergen asintóticamente al origen. Definimos como
Esto es simplemente la energía escalada del sistema [2] Claramente,es definido positivo en una bola abierta de radioalrededor del origen. Calcular la derivada,
Observa eso . Si fuera cierto que, podríamos concluir que toda trayectoria se aproxima al origen por el segundo teorema de Lyapunov . Desafortunadamente, y es solo semidefinido negativo ya que puede ser distinto de cero cuando . Sin embargo, el conjunto
que es simplemente el conjunto
no contiene ninguna trayectoria del sistema, excepto la trayectoria trivial x = 0 . De hecho, si en algún momento, , entonces porque debe ser menor que lejos del origen, y . Como resultado, la trayectoria no se quedará en el set..
Se satisfacen todas las condiciones de la versión local del principio de invariancia, y podemos concluir que toda trayectoria que comienza en algún vecindario del origen convergerá al origen como [3] .
Historia
El resultado general fue descubierto independientemente por JP LaSalle (entonces en RIAS ) y NN Krasovskii , quienes publicaron en 1960 y 1959 respectivamente. Si bien LaSalle fue el primer autor en Occidente en publicar el teorema general en 1960, Barbashin y Krasovskii comunicaron un caso especial del teorema en 1952 , seguido de una publicación del resultado general en 1959 por Krasovskii [4] .
Ver también
Papeles originales
- LaSalle, JP Algunas extensiones del segundo método de Liapunov, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. ( PDF )
- Barbashin, EA; Nikolai N. Krasovskii (1952).Об устойчивости движения в целом[Sobre la estabilidad del movimiento en su conjunto]. Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 86 : 453–456.
- Krasovskii, NN Problemas de la teoría de la estabilidad del movimiento, (ruso), 1959. Traducción al inglés: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
Libros de texto
- LaSalle, JP ; Lefschetz, S. (1961). Estabilidad por el método directo de Liapunov . Prensa académica.
- Haddad, WM ; Chellaboina, VS (2008). Control y sistemas dinámicos no lineales, un enfoque basado en Lyapunov . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691133294.
- Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Wiggins, S. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos (2 ed.). Ciudad de Nueva York : Springer Verlag . ISBN 0-387-00177-8.
Conferencias
- Notas de la Universidad de Texas A&M sobre el principio de invariancia ( PDF )
- Notas de la Universidad Estatal de Carolina del Norte sobre el principio de invariancia de LaSalle ( PDF ).
- Caltech notas sobre el principio de invariancia de LaSalle ( PDF ).
- Notas de OpenCourseware del MIT sobre el análisis de estabilidad de Lyapunov y el principio de invariancia ( PDF ).
- Notas de la Universidad de Purdue sobre la teoría de la estabilidad y el principio de invariancia de LaSalle ( PDF [ enlace muerto permanente ] ).
Referencias
- ^ Khalil, Hasan (2002). Sistemas no lineales (3ª ed.). Upper Saddle River Nueva Jersey: Prentice Hall.
- ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar (2008). Control y sistemas dinámicos no lineales, un enfoque basado en Lyapunov . Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Notas de la conferencia sobre control no lineal, Universidad de Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, conferencia 4.
- ^ ibíd.
- ^ Notas de conferencia sobre análisis no lineal, Universidad Nacional de Taiwán, Instructor: Feng-Li Lian, conferencia 4-2.
- ^ Vidyasagar, M.Análisis de sistemas no lineales,SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.