La desigualdad de Ladyzhenskaya

En matemáticas , la desigualdad de Ladyzhenskaya es cualquiera de una serie de desigualdades funcionales relacionadas que llevan el nombre de la matemática rusa soviética Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya . La desigualdad original, para funciones de dos variables reales, fue introducida por Ladyzhenskaya en 1958 para probar la existencia y unicidad de soluciones a largo plazo para las ecuaciones de Navier-Stokes. en dos dimensiones espaciales (para datos iniciales suficientemente fluidos). Existe una desigualdad análoga para funciones de tres variables reales, pero los exponentes son ligeramente diferentes; gran parte de la dificultad para establecer la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes se debe a estos diferentes exponentes. La desigualdad de Ladyzhenskaya es un miembro de una amplia clase de desigualdades conocidas como desigualdades de interpolación .

Dejar ${\displaystyle \Omega }$ser un dominio de Lipschitz en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ por ${\displaystyle n=2{\text{ or }}3}$ y deja ${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ser una función débilmente diferenciable que se desvanece en el límite de${\displaystyle \Omega }$en el sentido de huella (es decir,${\displaystyle u}$es un límite en el espacio de Sobolev ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$de una secuencia de funciones suaves que son compatibles de forma compacta en${\displaystyle \Omega }$). Entonces existe una constante${\displaystyle C}$ dependiendo solo de ${\displaystyle \Omega }$ tal que, en el caso ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}}$

y en el caso ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/4}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{3/4}}$

Generalizaciones

• Tanto la versión bidimensional como la tridimensional de la desigualdad de Ladyzhenskaya son casos especiales de la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg.

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}}\leq C\|u\|_{L^{q}}^{\alpha }\|u\|_{H_{0}^{s}}^{1-\alpha },}$

que se sostiene siempre

${\displaystyle p>q\geq 1,s>n({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{p}}),{\text{ and }}{\tfrac {1}{p}}={\tfrac {\alpha }{q}}+(1-\alpha )({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {s}{n}}).}$

Las desigualdades de Ladyzhenskaya son los casos especiales ${\displaystyle p=4,q=2,s=1}$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ Cuándo ${\displaystyle n=2}$ y ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{4}}}$ Cuándo ${\displaystyle n=3}$.

• Una simple modificación del argumento utilizado por Ladyzhenskaya en su artículo de 1958 (ver, por ejemplo, Constantin y Seregin 2010) produce la siguiente desigualdad para ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$, valido para todos ${\displaystyle r\geq 2}$:

${\displaystyle \|u\|_{L^{2r}}\leq Cr\|u\|_{L^{r}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}.}$

• La desigualdad habitual de Ladyzhenskaya en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n=2{\text{ or }}3}$, se puede generalizar (ver McCormick & al. 2013) para usar los débiles${\displaystyle L^{2}}$"norma" de${\displaystyle u}$ en lugar de lo habitual ${\displaystyle L^{2}}$ norma:

${\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq {\begin{cases}C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2},&n=2,\\C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/4}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{3/4},&n=3.\end{cases}}}$

Ver también

• La desigualdad de Agmon

Referencias

• Constantin, P .; Seregin, G. (2010), "Continuidad de Hölder de soluciones de ecuaciones 2D Navier-Stokes con forzamiento singular", Ecuaciones diferenciales parciales no lineales y temas relacionados , Amer. Matemáticas. Soc. Transl. Ser. 2, 229 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 87–95
• Ладыженская, О. А. (1958). "Решение" в целом "краевой задачи для уравнений Навье - Стокса в случае двух пространственхнем". Доклады Академии наук СССР . 123 (3): 427–429.[ Ladyzhensakya, OA (1958). "Solución en el gran problema del valor en la frontera para las ecuaciones de Navier-Stokes en dos variables espaciales". Física soviética Dokl . 123 (3): 1128-1131. Código bibliográfico : 1960SPhD .... 4.1128L .]
• McCormick, DS; Robinson, JC; Rodrigo, JL (2013). "Desigualdades generalizadas de Gagliardo-Nirenberg utilizando espacios débiles de Lebesgue y BMO". Milan J. Math . 81 (2): 265–289. arXiv : 1303.6351 . CiteSeerX  10.1.1.758.7957 . doi : 10.1007 / s00032-013-0202-6 .