Una función definida en un rectángulo (figura superior, en rojo) y su trazo (figura inferior, en rojo).
Motivación
En un dominio limitado y sin problemas, considere el problema de resolver la ecuación de Poisson con condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas:
con funciones dadas y con regularidad discutido en la sección de aplicación a continuación. La solución débil de esta ecuación debe satisfacer
para todos .
La -regularidad de es suficiente para que esta ecuación integral esté bien definida. Sin embargo, no es evidente en qué sentido puede satisfacer la condición de frontera en : por definición, es una clase de equivalencia de funciones que puede tener valores arbitrarios en ya que este es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n-dimensional.
Si hay aguanta por el teorema de incrustación de Sobolev , tal que puede satisfacer la condición de frontera en el sentido clásico, es decir, la restricción de a está de acuerdo con la función (más precisamente: existe un representante de en con esta propiedad). Para con tal incrustación no existe y el operador de seguimiento presentado aquí debe utilizarse para dar significado a . Luego con se llama una solución débil al problema del valor en la frontera si se satisface la ecuación integral anterior. Para que la definición del operador de rastreo sea razonable, debe haber para suficientemente regular .
Teorema de la traza
El operador de seguimiento se puede definir para funciones en los espacios de Sobolev. con , consulte la sección siguiente para ver las posibles extensiones de la traza a otros espacios. Dejar por ser un dominio acotado con límite de Lipschitz. Entonces [1] existe un operador de traza lineal acotado
tal que extiende la traza clásica, es decir
para todos .
La continuidad de implica que
para todos
con constante solo dependiendo de y . La función se llama rastro de y a menudo se denota simplemente por . Otros símbolos comunes para incluir y .
Construcción
Este párrafo sigue a Evans, [2] donde se pueden encontrar más detalles, y asume que tiene un -Perímetro. Una prueba (de una versión más fuerte) del teorema de la traza para los dominios de Lipschitz se puede encontrar en Gagliardo. [1] En un-dominio, el operador de seguimiento se puede definir como una extensión lineal continua del operador
al espacio . Por densidad de en tal extensión es posible si es continuo con respecto a la -norma. La prueba de esto, es decir, que existe (Dependiendo de y ) tal que
para todos
es el ingrediente central en la construcción del operador de rastreo. Una variante local de esta estimación para-funciones se prueba primero para un límite localmente plano utilizando el teorema de divergencia . Por transformación, un general-el límite puede ser enderezado localmente para reducir a este caso, donde el -La regularidad de la transformación requiere que la estimación local se mantenga para -funciones.
Con esta continuidad del operador de rastreo en una extensión a existe por argumentos abstractos y por se puede caracterizar de la siguiente manera. Dejar ser una secuencia aproximada por densidad. Por la probada continuidad de en la secuencia es una secuencia de Cauchy en y con límite tomado en .
La propiedad de extensión sostiene para por construcción, pero para cualquier existe una secuencia que converge uniformemente en a , verificando la propiedad de extensión en el conjunto más grande .
El caso p = ∞
Si está acotado y tiene un -límite entonces por la desigualdad de Morrey existe una incrustación continua, dónde denota el espacio de funciones continuas de Lipschitz . En particular, cualquier función tiene un rastro clásico y se sostiene
Funciones con traza cero
Los espacios de Sobolev por se definen como el cierre del conjunto de funciones de prueba con soporte compacto Con respeto a -norma. La siguiente caracterización alternativa es válida:
dónde es el núcleo de, es decir es el subespacio de funciones en con traza cero.
Imagen del operador de seguimiento
Para p> 1
El operador de trazas no es sobreyectivo en Si , es decir, no todas las funciones en es el rastro de una función en . Como se detalla a continuación, la imagen consta de funciones que satisfacen un-versión de continuidad de Hölder .
Caracterización abstracta
Una caracterización abstracta de la imagen dese puede derivar de la siguiente manera. Según los teoremas del isomorfismo se sostiene
dónde denota el espacio cociente del espacio de Banach por el subespacio y la última identidad se desprende de la caracterización de desde arriba. Equipar el espacio del cociente con la norma del cociente definida por
el operador de rastreo es entonces un operador lineal sobreyectivo y acotado
.
Caracterización mediante espacios Sobolev – Slobodeckij
Una representación más concreta de la imagen de puede darse utilizando espacios de Sobolev-Slobodeckij que generalizan el concepto de funciones continuas de Hölder a la-configuración. Desdees una variedad de Lipschitz (n-1) dimensional incrustada entécnicamente se trata de una caracterización explícita de estos espacios. Por simplicidad, considere primero un dominio plano. Para definir la norma (posiblemente infinita)
que generaliza la condición de Hölder . Luego
equipado con la norma anterior es un espacio de Banach (una definición general de para no entero se puede encontrar en el artículo para espacios Sobolev-Slobodeckij ). Para la variedad de Lipschitz (n-1) dimensional definir enderezando localmente y procediendo como en la definición de .
El espacio luego se puede identificar como la imagen del operador de seguimiento y se sostiene [1] que
es un operador lineal sobreyectivo y acotado.
Para p = 1
Para la imagen del operador de seguimiento es y se sostiene [1] que
es un operador lineal sobreyectivo y acotado.
Inverso a la derecha: operador de extensión de seguimiento
El operador de traza no es inyectivo ya que múltiples funciones en puede tener el mismo rastro (o de manera equivalente, ). Sin embargo, el operador de traza tiene una inversa a la derecha de buen comportamiento, que extiende una función definida en el límite a todo el dominio. Especificamente paraexiste un operador de extensión de traza lineal acotado [3]
,
utilizando la caracterización Sobolev-Slobodeckij de la imagen del operador de trazas de la sección anterior, de modo que
para todos
y, por continuidad, existe con
.
Notable no es la mera existencia sino la linealidad y continuidad de la derecha inversa. Este operador de extensión de seguimiento no debe confundirse con los operadores de extensión de espacio completo que juegan un papel fundamental en la teoría de los espacios de Sobolev.
Ampliación a otros espacios
Derivadas superiores
Muchos de los resultados anteriores pueden extenderse a con mayor diferenciabilidad si el dominio es suficientemente regular. Dejar denotar el campo normal de la unidad exterior en . Desde puede codificar propiedades de diferenciabilidad en dirección tangencial solo la derivada normal es de interés adicional para la teoría de la traza para . Se aplican argumentos similares a las derivadas de orden superior para.
Dejar y ser un dominio acotado con -Perímetro. Entonces [3] existe un operador de traza lineal de orden superior sobreyectivo y acotado
con espacios Sobolev-Slobodeckij para no entero definido en a través de la transformación al caso plano por , cuya definición se elabora en el artículo sobre espacios Sobolev-Slobodeckij . El operador extiende las trazas normales clásicas en el sentido de que
para todos
Además, existe un inverso a la derecha lineal acotado de , un operador de extensión de seguimiento de orden superior [3]
.
Finalmente, los espacios , la finalización de en el -norm, se puede caracterizar como el núcleo de , [3] es decir
.
Espacios menos regulares
Sin rastro en L p
No existe una extensión sensible del concepto de rastros a por ya que cualquier operador lineal acotado que extiende la traza clásica debe ser cero en el espacio de las funciones de prueba , que es un subconjunto denso de , lo que implica que dicho operador sería cero en todas partes.
Traza normal generalizada
Dejar denotar la divergencia distributiva de un campo vectorial. Para y dominio limitado de Lipschitz definir
que es un espacio de Banach con norma
.
Dejar denotar el campo normal de la unidad exterior en . Entonces [4] existe un operador lineal acotado
El valor del operador de rastreo normal por se define mediante la aplicación del teorema de divergencia al campo vectorial dónde es el operador de extensión de seguimiento desde arriba.
Solicitud. Cualquier solución débil a en un dominio de Lipschitz delimitado tiene una derivada normal en el sentido de . Esto sigue como desde y . Este resultado es notable ya que en los dominios de Lipschitz en general, tal que no puede estar en el dominio del operador de seguimiento .
Solicitud
Los teoremas presentados anteriormente permiten una investigación más cercana del problema del valor en la frontera
en un dominio de Lipschitz de la motivación. Dado que solo el caso espacial de Hilbert se investiga aquí, la notación se usa para denotar etc. Como se indica en la motivación, una solución débil a esta ecuación debe satisfacer y
para todos ,
donde el lado derecho debe interpretarse para como un producto de dualidad con el valor .
Existencia y singularidad de soluciones débiles.
La caracterización de la gama de implica que para para mantener la regularidad es necesario. Esta regularidad también es suficiente para la existencia de una solución débil, que se puede ver de la siguiente manera. Según el teorema de la extensión de trazas, existe tal que . Definiendo por tenemos eso y por lo tanto por la caracterización de como espacio de traza cero. La función luego satisface la ecuación integral
para todos .
Por tanto, el problema de los valores de frontera no homogéneos para podría reducirse a un problema con valores de frontera homogéneos para , una técnica que se puede aplicar a cualquier ecuación diferencial lineal. Según el teorema de representación de Riesz, existe una solución únicaa este problema. Por unicidad de la descomposición, esto es equivalente a la existencia de una única solución débil al problema del valor de frontera no homogéneo.
Dependencia continua de los datos
Queda por investigar la dependencia de en y . Dejar denotar constantes independientes de y . Por dependencia continua de en el lado derecho de su ecuación integral, se mantiene
y así, usando eso y por continuidad del operador de extensión de seguimiento, se sigue que
y el mapa de la solución
es, por tanto, continuo.
Referencias
↑ a b c d Gagliardo, Emilio (1957). "Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relativa ad alcune classi di funzioni in n variabili" . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 27 : 284-305.
^Evans, Lawrence (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pp. 257 -261. ISBN 0-8218-0772-2.
^ a b c dNečas, Jindřich (1967). Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques . París: Masson et Cie, Éditeurs, Praga: Academia, Éditeurs. págs. 90-104.
^Sohr, Hermann (2001). Las ecuaciones de Navier-Stokes: un enfoque analítico funcional elemental . Basilea: Birkhäuser. págs. 50–51. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8255-2 .
Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 181 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 734.ISBN 978-1-4704-2921-8