Polinomio de Lagrange

En el análisis numérico , los polinomios de Lagrange se utilizan para la interpolación de polinomios . Para un conjunto dado de puntos sin dos valores iguales, el polinomio de Lagrange es el polinomio de menor grado que asume en cada valor el valor correspondiente .${\ estilo de visualización (x_ {j}, y_ {j})}$${\ estilo de visualización x_ {j}}$${\ estilo de visualización x_ {j}}$${\ estilo de visualización y_ {j}}$

Aunque lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange , quien lo publicó en 1795, el método fue descubierto por primera vez en 1779 por Edward Waring . ^[1] También es una fácil consecuencia de una fórmula publicada en 1783 por Leonhard Euler . ^[2]

Los usos de los polinomios de Lagrange incluyen el método de Newton-Cotes de integración numérica y el esquema de intercambio secreto de Shamir en criptografía .

La interpolación de Lagrange es susceptible al fenómeno de gran oscilación de Runge. Como cambiar los puntos requiere volver a calcular todo el interpolante, a menudo es más fácil usar polinomios de Newton en su lugar.${\ estilo de visualización x_ {j}}$

donde no hay dos iguales, el polinomio de interpolación en la forma de Lagrange es una combinación lineal${\ estilo de visualización x_ {j}}$

donde _ Observe cómo, dada la suposición inicial de que no hay dos iguales, entonces (cuando ) , por lo que esta expresión siempre está bien definida. La razón por la que no se permiten los pares con es que no existiría ninguna función de interpolación; una función solo puede obtener un valor para cada argumento . Por otro lado, si también , entonces esos dos puntos serían en realidad un solo punto.${\ estilo de visualización 0 \ leq j \ leq k}$${\ estilo de visualización x_ {j}}$${\ estilo de visualización m \ neq j}$${\displaystyle x_{j}-x_{m}\neq 0}$${\ estilo de visualización x_ {i} = x_ {j}}$${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$${\ estilo de visualización L}$${\displaystyle y_{i}=L(x_{i})}$${\ estilo de visualización x_ {i}}$${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$

Esta imagen muestra, para cuatro puntos ( (−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) ), el polinomio de interpolación (cúbico) L ( x ) (discontinua, negro), que es la suma de los polinomios de base escalada y ₀ ℓ ₀ ( x ) , y ₁ ℓ ₁ ( x ) , y ₂ ℓ ₂ ( x ) y y ₃ ℓ ₃ ( x ). El polinomio de interpolación pasa por los cuatro puntos de control, y cada polinomio de base escalada pasa por su punto de control respectivo y es 0 donde x corresponde a los otros tres puntos de control.

Aquí trazamos las funciones de base de Lagrange de primer, segundo y tercer orden en un dominio de dos unidades. Se utilizan combinaciones lineales de funciones de base de Lagrange para construir polinomios de interpolación de Lagrange. Las funciones de base de Lagrange se utilizan comúnmente en el análisis de elementos finitos como base para las funciones de forma de los elementos. Además, es común usar un dominio de dos unidades como el espacio natural para la definición de elementos finitos.

Ejemplo de divergencia de interpolación para un conjunto de polinomios de Lagrange.