En óptica , la ley del coseno de Lambert dice que la intensidad radiante o la intensidad luminosa observada desde una superficie ideal reflectante difusa o radiador difuso ideal es directamente proporcional al coseno del ángulo θ entre la dirección de la luz incidente y la superficie normal; Yo = Yo 0 cos ( θ ) . [1] [2] La ley también se conoce como ley de emisión del coseno [3] o ley de emisión de Lambert . Lleva el nombre de Johann Heinrich Lambert, de su Photometria , publicado en 1760. [4]
Se dice que una superficie que obedece a la ley de Lambert es lambertiana y exhibe reflectancia lambertiana . Dicha superficie tiene el mismo brillo cuando se ve desde cualquier ángulo. Esto significa, por ejemplo, que para el ojo humano tiene el mismo brillo (o luminancia ) aparente . Tiene el mismo resplandor porque, aunque la potencia emitida desde un elemento de área dado se reduce por el coseno del ángulo de emisión, el ángulo sólido, subtendido por la superficie visible para el espectador, se reduce en la misma cantidad. Debido a que la relación entre la potencia y el ángulo sólido es constante, la radiancia (potencia por unidad de ángulo sólido por unidad de área de fuente proyectada) permanece igual.
Dispersores y radiadores lambertianos
Cuando un elemento de área está irradiando como resultado de haber sido iluminado por una fuente externa, la irradiancia (energía o fotones / tiempo / área) que aterriza en ese elemento de área será proporcional al coseno del ángulo entre la fuente de iluminación y la normal. Un dispersor lambertiano luego dispersará esta luz de acuerdo con la misma ley del coseno que un emisor lambertiano. Esto significa que aunque el resplandor de la superficie depende del ángulo entre la normal y la fuente de iluminación, no dependerá del ángulo entre la normal y el observador. Por ejemplo, si la luna fuera un difusor lambertiano, uno esperaría ver su brillo disperso disminuir apreciablemente hacia el terminador debido al mayor ángulo en el que la luz solar incide en la superficie. El hecho de que no disminuya ilustra que la luna no es un dispersor lambertiano y, de hecho, tiende a dispersar más luz en los ángulos oblicuos que un dispersor lambertiano.
La emisión de un radiador lambertiano no depende de la cantidad de radiación incidente, sino de la radiación que se origina en el propio cuerpo emisor. Por ejemplo, si el sol fuera un radiador lambertiano, uno esperaría ver un brillo constante en todo el disco solar. El hecho de que el sol muestre oscurecimiento de las extremidades en la región visible ilustra que no es un radiador lambertiano. Un cuerpo negro es un ejemplo de radiador lambertiano.
Detalles del efecto de brillo igual
La situación de una superficie lambertiana (emisora o dispersa) se ilustra en las Figuras 1 y 2. Para mayor claridad conceptual, pensaremos en términos de fotones en lugar de energía o energía luminosa . Las cuñas en el círculo representan cada una un ángulo igual dΩ , de un tamaño elegido arbitrariamente, y para una superficie lambertiana, el número de fotones por segundo emitidos en cada cuña es proporcional al área de la cuña.
La longitud de cada cuña es el producto del diámetro del círculo y cos ( θ ). La tasa máxima de emisión de fotones por unidad de ángulo sólido es a lo largo de la normal y disminuye a cero para θ = 90 °. En términos matemáticos, la radiación a lo largo de la normal es I fotones / (s · m 2 · sr) y el número de fotones por segundo emitidos en la cuña vertical es I dΩ dA . El número de fotones por segundo emitidos en la cuña en el ángulo θ es I cos ( θ ) dΩ dA .
La figura 2 representa lo que ve un observador. El observador directamente encima del elemento de área verá la escena a través de una apertura de área dA 0 y el elemento de área dA subtendrá un ángulo (sólido) de dΩ 0 , que es una parte del campo de visión angular total del observador de la escena. Dado que el tamaño de la cuña dΩ se eligió arbitrariamente, por conveniencia podemos suponer sin pérdida de generalidad que coincide con el ángulo sólido subtendido por la apertura cuando se "ve" desde el lugar del elemento de área emisora dA. Por lo tanto, el observador normal registrará la misma emisión de fotones de I dΩ dA por segundo derivada anteriormente y medirá una radiancia de
- fotones / (s · m 2 · sr).
El observador en un ángulo θ con respecto a la normal verá la escena a través de la misma apertura del área dA 0 (todavía correspondiente a una cuña dΩ ) y desde esta posición oblicua el elemento del área dA se acortará y subtendrá un ángulo (sólido) de dΩ 0 cos ( θ ). Este observador registrará I cos ( θ ) dΩ dA fotones por segundo, por lo que medirá una radiancia de
- fotones / (s · m 2 · sr),
que es lo mismo que el observador normal.
Relacionar la intensidad luminosa máxima y el flujo luminoso
En general, la intensidad luminosa de un punto en una superficie varía según la dirección; para una superficie lambertiana, esa distribución está definida por la ley del coseno, con una intensidad luminosa máxima en la dirección normal. Por tanto, cuando se cumple el supuesto de Lambert, podemos calcular el flujo luminoso total ,, desde el pico de intensidad luminosa ,, integrando la ley del coseno:
y entonces
dónde es el determinante de la matriz jacobiana para la esfera unitaria , y al darse cuenta de quees el flujo luminoso por estereorradián . [5] Del mismo modo, la intensidad máxima serádel flujo luminoso total irradiado. Para superficies lambertianas, el mismo factor derelaciona la luminancia con la emitancia luminosa , la intensidad radiante con el flujo radiante y el resplandor con la emitancia radiante . [ cita requerida ] Radianes y estereorradián son, por supuesto, adimensionales, por lo que "rad" y "sr" se incluyen sólo para mayor claridad.
Ejemplo: una superficie con una luminancia de, digamos, 100 cd / m 2 (= 100 nits, monitor típico de PC) tendrá, si es un emisor Lambert perfecto, una emitancia luminosa de 100 * π lm / m 2 . Si su área es de 0,1 m 2 (monitor de ~ 19 "), entonces la luz total emitida, o flujo luminoso, sería de 31,4 lm.
Ver también
Referencias
- ^ Manual de electroóptica RCA, p.18 y siguientes
- ^ Ingeniería óptica moderna, Warren J. Smith, McGraw-Hill, p. 228, 256
- ^ Pedrotti y Pedrotti (1993). Introducción a la Óptica . Prentice Hall . ISBN 0135015456.
- ^ Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Eberhard Klett.
- ^ Incropera y DeWitt, Fundamentos de la transferencia de calor y masa , 5.a ed., P.710.