En física del estado sólido , la ecuación de Landau-Lifshitz ( LLE ), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz , es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de 1 variable de tiempo y 1, 2 o 3 variables de espacio. .
Ecuación de Landau-Lifshitz
El LLE describe un imán anisotrópico . La ecuación se describe en ( Faddeev & Takhtajan 2007 , capítulo 8) de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S , en otras palabras, una función en R 1+ n que toma valores en R 3 . La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3 , que generalmente se asume que es diagonal ; es decir,. Está dado por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano
(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es
En 1 + 1 dimensiones esta ecuación es
En 2 + 1 dimensiones, esta ecuación toma la forma
que es el LLE (2 + 1) -dimensional. Para el caso (3 + 1) -dimensional, LLE parece
Reducciones integrables
En general, LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:
- a) en las dimensiones 1 + 1, es decir la Ec. (3), es integrable
- b) cuando . En este caso, el (1 + 1) -dimensional LLE (3) se convierte en la ecuación de ferromagnético de Heisenberg clásica continua (ver, por ejemplo, el modelo de Heisenberg (clásico) ) que ya es integrable.
Ver también
Referencias
- Faddeev, Ludwig D .; Takhtajan, Leon A. (2007), métodos hamiltonianos en la teoría de los solitones , Classics in Mathematics, Berlín: Springer, pp. X + 592, doi : 10.1007 / 978-3-540-69969-9 , ISBN 978-3-540-69843-2, MR 2348643
- Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Ecuaciones de Landau-Lifshitz , Fronteras de la investigación con la Academia de Ciencias de China, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
- Kosevich AM , Ivanov BA, Kovalev AS Ondas de magnetización no lineales. Solitones dinámicos y topológicos. - Kiev: Naukova Dumka , 1988. - 192 p.