En matemáticas y en el campo de la teoría de números , la constante de Landau-Ramanujan es el número real positivo b que ocurre en un teorema probado por Edmund Landau en 1908, [1] afirmando que para grandes, el número de enteros positivos debajoque son la suma de dos números cuadrados se comporta asintóticamente como
Esta constante b fue redescubierta en 1913 por Srinivasa Ramanujan , en la primera carta que le escribió a GH Hardy . [2]
Sumas de dos cuadrados
Por el teorema de la suma de dos cuadrados , los números que se pueden expresar como una suma de dos cuadrados de enteros son aquellos para los que cada número primo congruente con 3 mod 4 aparece con un exponente par en su factorización prima . Por ejemplo, 45 = 9 + 36 es una suma de dos cuadrados; en su factorización prima, 3 2 × 5, el primo 3 aparece con un exponente par, y el primo 5 es congruente con 1 mod 4, por lo que su exponente puede ser impar.
El teorema de Landau establece que si es el número de enteros positivos menores que que son la suma de dos cuadrados, entonces
dónde es la constante de Landau-Ramanujan.
Historia
Landau declaró esta constante en la forma límite anterior; Ramanujan en cambio se aproximócomo una integral, con la misma constante de proporcionalidad, y con un término de error que crece lentamente. [3]
Referencias
- ^ Edmund Landau, Über die Einteilung der positive ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate , Archiv der Mathematik und Physik (3) 13 (1908), 305-312
- ↑ S. Ramanujan, carta a GH Hardy , 16 de enero de 1913; ver: P. Moree y J. Cazaran, Sobre un reclamo de Ramanujan en su primera carta a Hardy , Exposición. Matemáticas. 17 (1999), n.o 4, 289-311.
- ^ Weisstein, Eric W. "Landau-Ramanujan Constant" . MathWorld .