Teorema del functor exacto de Landweber

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En matemáticas, el teorema del functor exacto de Landweber , llamado así por Peter Landweber , es un teorema en topología algebraica . Se sabe que una orientación compleja de una teoría de homología conduce a una ley de grupo formal . El teorema del functor exacto de Landweber (o LEFT para abreviar) puede verse como un método para revertir este proceso: construye una teoría de homología a partir de una ley de grupo formal.

El anillo de coeficiente de cobordismo complejo es , donde el grado de es . Esto es isomorfo al anillo graduado de Lazard . Esto significa que dar una ley de grupo formal F (de grado ) sobre un anillo escalonado es equivalente a dar un morfismo de anillo escalonado . La multiplicación por un número entero se define inductivamente como una serie de potencias, por${\ Displaystyle MU _ {*} (*) = MU _ {*} \ cong \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ dots]}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle 2i}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} L _ {*}}$${\ displaystyle -2}$${\ Displaystyle R _ {*}}$${\ Displaystyle L _ {*} \ a R _ {*}}$${\ Displaystyle n> 0}$

Sea ahora F una ley de grupo formal sobre un anillo . Definir para un espacio topológico X${\ Displaystyle {\ mathcal {}} R _ {*}}$

Aquí obtiene su estructura -algebra a través de F. La pregunta es: ¿es E una teoría de homología? Obviamente, es un functor invariante de homotopía, que cumple con la escisión. El problema es que la tensión en general no preserva las secuencias exactas. Se podría exigir que sea plana sobre , pero eso sería demasiado fuerte en la práctica. Peter Landweber encontró otro criterio:${\ Displaystyle R _ {*}}$${\ Displaystyle MU _ {*}}$${\ Displaystyle R _ {*}}$${\ Displaystyle MU _ {*}}$

En particular, cada ley de grupo formal F sobre un anillo produce un módulo sobre ya que obtenemos a través de F un morfismo de anillo .${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {}} MU _ {*}}$${\ Displaystyle MU _ {*} \ to R}$

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