cobordismo complejo

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En matemáticas, el cobordismo complejo es una teoría de cohomología generalizada relacionada con el cobordismo de variedades . Su espectro se denota por MU. Es una teoría de cohomología excepcionalmente poderosa , pero puede ser bastante difícil de calcular, por lo que a menudo, en lugar de usarla directamente, se usan algunas teorías ligeramente más débiles derivadas de ella, como la cohomología de Brown-Peterson o la teoría K de Morava , que son más fáciles de calcular. .

Las teorías del cobordismo complejo de homología y cohomología generalizadas fueron introducidas por Michael Atiyah  ( 1961 ) utilizando el espectro de Thom .

El bordismo complejo de un espacio es aproximadamente el grupo de clases de bordismo de variedades sobre una estructura lineal compleja en el paquete normal estable . El bordismo complejo es una teoría de homología generalizada , correspondiente a un espectro MU que se puede describir explícitamente en términos de espacios de Thom de la siguiente manera.${\displaystyle MU^{*}(X)}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización X}$

El espacio es el espacio de Thom del paquete del plano universal sobre el espacio clasificador del grupo unitario . La inclusión natural de en induce un mapa de la suspensión doble a . Juntos, estos mapas dan el espectro ; es decir, es el colímite de homotopía de .${\displaystyle MU(n)}$${\ estilo de visualización n}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\ estilo de visualización U (n)}$${\ estilo de visualización U (n)}$${\ estilo de visualización U (n + 1)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2} MU (n)}$${\ estilo de visualización MU (n + 1)}$${\ estilo de visualización MU}$${\displaystyle MU(n)}$

Ejemplos: es el espectro de la esfera. es la desuspensión de .${\ estilo de visualización MU (0)}$${\ estilo de visualización MU (1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty}}$

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