Corrección de Langer

La corrección de Langer , que lleva el nombre del matemático Rudolf Ernest Langer , es una corrección a la aproximación WKB para problemas de simetría radial.

Descripción

En sistemas 3D

Al aplicar el método de aproximación WKB a la ecuación radial de Schrödinger ,

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{\textrm {eff}}(r)]R(r)=0}$,

donde el potencial efectivo viene dado por

${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2mr^{2}}}}$

(${\displaystyle \ell }$el número cuántico azimutal relacionado con el operador de momento angular ), las energías propias y el comportamiento de la función de onda obtenidos son diferentes de la solución real.

En 1937, Rudolf E. Langer sugirió una corrección

${\displaystyle \ell (\ell +1)\rightarrow \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$

que se conoce como corrección de Langer o reemplazo de Langer . ^[1] Esta manipulación equivale a insertar un factor constante de 1/4 siempre que${\displaystyle \ell (\ell +1)}$aparece. Heurísticamente, se dice que este factor surge porque el rango de la ecuación radial de Schrödinger está restringido de 0 a infinito, a diferencia de toda la línea real. Mediante tal cambio de término constante en el potencial efectivo, los resultados obtenidos por aproximación WKB reproducen el espectro exacto para muchos potenciales. Que el reemplazo de Langer es correcto se deduce del cálculo de WKB de los valores propios de Coulomb con el reemplazo que reproduce el resultado bien conocido. ^[2]

En sistemas 2D

Tenga en cuenta que para los sistemas 2D, como el potencial efectivo toma la forma

${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}})}{2mr^{2}}}}$,

así que la corrección de Langer es: ^[3]

${\displaystyle \left(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\rightarrow \ell ^{2}}$.

Esta manipulación también es equivalente a insertar un factor constante de 1/4 siempre que ${\displaystyle \ell ^{2}}$ aparece.

Justificación

Un cálculo aún más convincente es la derivación de las trayectorias de Regge (y por lo tanto de los valores propios) de la ecuación radial de Schrödinger con el potencial de Yukawa mediante un método de perturbación (con el antiguo${\displaystyle \ell (\ell +1)}$factor) e independientemente la derivación por el método WKB (con reemplazo de Langer) - en ambos casos incluso a órdenes superiores. Para el cálculo de perturbaciones, véase el libro de Müller-Kirsten ^[4] y para el cálculo de WKB, Boukema. ^{[5] [6]}

Ver también

• Método de Einstein-Brillouin-Keller

Referencias

1. Langer, Rudolph E. (15 de abril de 1937). "Sobre las fórmulas de conexión y las soluciones de la ecuación de onda". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 51 (8): 669–676. Código Bibliográfico : 1937PhRv ... 51..669L . doi : 10.1103 / physrev.51.669 . ISSN  0031-899X .
2. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: Ecuación de Schrödinger y ruta integral, 2ª ed. World Scientific (Singapur, 2012), pág. 404.
3. Brack, Matthias; Bhaduri, Rajat (5 de marzo de 2018). Física semiclásica . Prensa CRC. pag. 76. ISBN 978-0-429-97137-2.
4. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: Ecuación de Schrödinger y ruta integral, 2a ed., World Scientific (Singapur, 2012), Capítulo 16.
5. Boukema, JI (1964). "Cálculo de trayectorias regge en teoría potencial por WKB y técnicas variacionales". Physica . Elsevier BV. 30 (7): 1320-1325. Código Bibliográfico : 1964Phy .... 30.1320B . doi : 10.1016 / 0031-8914 (64) 90084-9 . ISSN 0031-8914 . 
6. Boukema, JI (1964). "Nota sobre el cálculo de las trayectorias de Regge en teoría potencial por la aproximación WKB de segundo orden". Physica . Elsevier BV. 30 (10): 1909-1912. Bibcode : 1964Phy .... 30.1909B . doi : 10.1016 / 0031-8914 (64) 90072-2 . ISSN 0031-8914 .