El método Einstein-Brillouin-Keller ( EBK ) es un método semiclásico (llamado así por Albert Einstein , Léon Brillouin y Joseph B. Keller ) que se utiliza para calcular valores propios en sistemas de mecánica cuántica. La cuantificación de EBK es una mejora de la cuantificación de Bohr-Sommerfeld que no consideró los saltos de fase cáustica en los puntos de inflexión clásicos. [1] Este procedimiento es capaz de reproducir exactamente el espectro del oscilador armónico 3D , la partícula en una caja e incluso la estructura fina relativista delátomo de hidrógeno . [2]
En 1976-1977, Berry y Tabor derivaron una extensión de la fórmula de trazas de Gutzwiller para la densidad de estados de un sistema integrable a partir de la cuantificación de EBK. [3] [4]
Ha habido una serie de resultados recientes sobre cuestiones computacionales relacionadas con este tema, por ejemplo, el trabajo de Eric J. Heller y Emmanuel David Tannenbaum utilizando un enfoque de descenso de gradiente de ecuación diferencial parcial. [5]
Procedimiento
Dado un sistema clásico separable definido por coordenadas, en el que cada par describe una función cerrada o una función periódica en , el procedimiento EBK implica cuantificar las integrales de trayectoria de sobre la órbita cerrada de :
dónde es la coordenada del ángulo de acción , es un número entero positivo y y son índices de Maslov . corresponde al número de puntos de inflexión clásicos en la trayectoria de ( Condición de frontera de Dirichlet ), ycorresponde al número de reflexiones con una pared dura ( condición de frontera de Neumann ). [6]
Ejemplo: átomo de hidrógeno 2D
El hamiltoniano para un electrón no relativista (carga eléctrica ) en un átomo de hidrógeno es:
dónde es el momento canónico a la distancia radial , y es el momento canónico del ángulo azimutal . Tome las coordenadas del ángulo de acción:
Para la coordenada radial :
donde nos estamos integrando entre los dos puntos de inflexión clásicos ()
Usando la cuantificación EBK :
y haciendo Se recupera el espectro del átomo de hidrógeno 2D [7] :
Tenga en cuenta que para este caso casi coincide con la cuantificación habitual del operador de momento angular en el plano. Para el caso 3D, el método EBK para el momento angular total es equivalente a la corrección de Langer .
Ver también
Referencias
- ^ Stone, AD (agosto de 2005). "Conocimiento desconocido de Einstein y el problema de cuantificar el caos" (PDF) . La física hoy . 58 (8): 37–43. Código Bibliográfico : 2005PhT .... 58h..37S . doi : 10.1063 / 1.2062917 .
- ^ Curtis, LG; Ellis, DG (2004). "Uso de la cuantificación de la acción de Einstein-Brillouin-Keller". Revista estadounidense de física . 72 : 1521-1523. Código bibliográfico : 2004AmJPh..72.1521C . doi : 10.1119 / 1.1768554 .
- ^ Berry, MV; Tabor, M. (1976). "Órbitas cerradas y espectro acotado regular". Proceedings of the Royal Society A . 349 : 101-123. Código Bibliográfico : 1976RSPSA.349..101B . doi : 10.1098 / rspa.1976.0062 .
- ^ Berry, MV; Tabor, M. (1977). "Cálculo del espectro acotado por suma de trayectorias en variables de ángulo de acción". Journal of Physics A . 10 .
- ^ Tannenbaum, ED; Heller, E. (2001). "Cuantificación semiclásica con tori invariante: un enfoque de pendiente descendente". Journal of Physical Chemistry A . 105 : 2801-2813.
- ^ Brack, M .; Bhaduri, RK (1997). Física semiclásica . Publicación de Adison-Weasly.
- ^ Basu, PK (1997). Teoría de Procesos Ópticos en Semiconductores: Bulk y Microestructuras . Prensa de la Universidad de Oxford.