El potencial efectivo (también conocido como energía potencial efectiva ) combina múltiples efectos, quizás opuestos, en un solo potencial. En su forma básica, es la suma de la energía potencial centrífuga "opuesta" con la energía potencial de un sistema dinámico . Puede usarse para determinar las órbitas de los planetas (tanto newtonianos como relativistas ) y para realizar cálculos atómicos semiclásicos, y a menudo permite reducir los problemas a menos dimensiones .
Definición
La forma básica de potencial Se define como:
,
dónde
- L es el momento angular
- r es la distancia entre las dos masas
- μ es la masa reducida de los dos cuerpos (aproximadamente igual a la masa del cuerpo en órbita si una masa es mucho mayor que la otra); y
- U (r) es la forma general del potencial .
La fuerza efectiva, entonces, es el gradiente negativo del potencial efectivo:
dónde denota un vector unitario en la dirección radial.
Propiedades importantes
Hay muchas características útiles del potencial efectivo, como
- .
Para encontrar el radio de una órbita circular, simplemente minimice el potencial efectivo con respecto a , o de manera equivalente, establezca la fuerza neta en cero y luego resuelva para :
Después de resolver , conecte esto de nuevo a para encontrar el valor máximo del potencial efectivo .
Una órbita circular puede ser estable o inestable. Si es inestable, una pequeña perturbación podría desestabilizar la órbita, pero una órbita estable es más estable. Para determinar la estabilidad de una órbita circular, determine la concavidad del potencial efectivo. Si la concavidad es positiva, la órbita es estable:
La frecuencia de pequeñas oscilaciones, utilizando el análisis hamiltoniano básico , es
- ,
donde el primo doble indica la segunda derivada del potencial efectivo con respecto a y se evalúa como mínimo.
Potencial gravitacional
Considere una partícula de masa m en órbita un objeto mucho más pesado de la masa M . Suponga la mecánica newtoniana , que es clásica y no relativista. La conservación de la energía y el momento angular dan dos constantes E y L , que tienen valores
cuando el movimiento de la masa mayor es despreciable. En estas expresiones,
- es la derivada de r con respecto al tiempo,
- es la velocidad angular de la masa m ,
- G es la constante gravitacional ,
- E es la energía total y
- L es el momento angular .
Solo se necesitan dos variables, ya que el movimiento ocurre en un plano. Sustituyendo la segunda expresión en la primera y reordenando da
dónde
es el potencial efectivo. [Nota 1] El problema original de dos variables se ha reducido a un problema de una variable. Para muchas aplicaciones, el potencial efectivo puede tratarse exactamente como la energía potencial de un sistema unidimensional: por ejemplo, un diagrama de energía que utiliza el potencial efectivo determina puntos de inflexión y ubicaciones de equilibrios estables e inestables . Se puede utilizar un método similar en otras aplicaciones, por ejemplo, para determinar las órbitas en una métrica de Schwarzschild relativista general .
Los potenciales efectivos se utilizan ampliamente en varios subcampos de materia condensada, por ejemplo, el potencial del núcleo de Gauss (Likos 2002, Baeurle 2004) y el potencial de Coulomb filtrado (Likos 2001).
Notas
- ↑ Una derivación similar se puede encontrar en José y Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach , págs. 31–33
Referencias
- ^ Seidov, Zakir F. (2004). "Seidov, problema de Roche". El diario astrofísico . 603 : 283-284. arXiv : astro-ph / 0311272 . Código bibliográfico : 2004ApJ ... 603..283S . doi : 10.1086 / 381315 .
- José, JV; Saletan, EJ (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63636-0..
- Likos, CN; Rosenfeldt, S .; Dingenouts, N .; Ballauff, M .; Lindner, P .; Werner, N .; Vögtle, F .; et al. (2002). "Interacción efectiva gaussiana entre dendrímeros flexibles de cuarta generación: un estudio teórico y experimental" . J. Chem. Phys . 117 (4): 1869–1877. Código Bibliográfico : 2002JChPh.117.1869L . doi : 10.1063 / 1.1486209 . Archivado desde el original el 19 de julio de 2011.
- Baeurle, SA; Kroener J. (2004). "Modelado de interacciones efectivas de agregados micelares de tensioactivos iónicos con el potencial del núcleo de Gauss". J. Math. Chem . 36 (4): 409–421. doi : 10.1023 / B: JOMC.0000044526.22457.bb .
- Likos, CN (2001). "Interacciones efectivas en la física de la materia condensada blanda". Informes de física . 348 (4–5): 267–439. Código Bibliográfico : 2001PhR ... 348..267L . CiteSeerX 10.1.1.473.7668 . doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00141-1 .