Las funciones de Brillouin y Langevin son un par de funciones especiales que aparecen al estudiar un material paramagnético idealizado en mecánica estadística .
Función Brillouin
La función de Brillouin [1] [2] es una función especial definida por la siguiente ecuación:
La función generalmente se aplica (ver más abajo) en el contexto donde es una variable real y es un entero positivo o medio entero. En este caso, la función varía de -1 a 1, acercándose a +1 como y -1 como .
La función es más conocida por surgir en el cálculo de la magnetización de un paramagnet ideal . En particular, describe la dependencia de la magnetizaciónen el campo magnético aplicado y el número cuántico del momento angular total J de los momentos magnéticos microscópicos del material. La magnetización viene dada por: [1]
dónde
- es el número de átomos por unidad de volumen,
- el factor g ,
- el magneton de Bohr ,
- es la relación entre la energía Zeeman del momento magnético en el campo externo y la energía térmica: [1]
- es la constante de Boltzmann y la temperatura.
Tenga en cuenta que en el sistema SI de unidades dado en Tesla representa el campo magnético ,, dónde es el campo magnético auxiliar dado en A / my es la permeabilidad del vacío .
Haga clic en "mostrar" para ver una derivación de esta ley: Una derivación de esta ley que describe la magnetización de un paramagnet ideal es la siguiente. [1] Sea z la dirección del campo magnético. La componente z del momento angular de cada momento magnético (también conocido como el número cuántico azimutal ) puede tomar uno de los posibles valores 2J + 1 -J, -J + 1, ..., + J. Cada uno de estos tiene una energía diferente, debido al campo externo B : La energía asociada con el número cuántico m es (donde g es el factor g , μ B es el magnetón de Bohr y x es como se define en el texto anterior). La probabilidad relativa de cada uno de estos está dada por el factor de Boltzmann :
donde Z (la función de partición ) es una constante de normalización tal que las probabilidades suman la unidad. Calculando Z , el resultado es:
- .
En total, el valor esperado del número cuántico azimutal m es
- .
El denominador es una serie geométrica y el numerador es un tipo de serie aritmético-geométrica , por lo que la serie se puede sumar explícitamente. Después de algo de álgebra, el resultado resulta ser
Con N momentos magnéticos por unidad de volumen, la densidad de magnetización es
- .
Takacs [3] propuso la siguiente aproximación a la inversa de la función de Brillouin:
donde las constantes y están definidos para ser
Función de Langevin
En el límite clásico, los momentos se pueden alinear continuamente en el campo y puede asumir todos los valores (). La función de Brillouin luego se simplifica en la función de Langevin , llamada así por Paul Langevin :
Para valores pequeños de x , la función de Langevin se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor :
Una aproximación alternativa, mejor comportada, se puede derivar de la expansión de fracción continua de Lambert de tanh ( x ) :
Para x suficientemente pequeño , ambas aproximaciones son numéricamente mejores que una evaluación directa de la expresión analítica real, ya que esta última sufre pérdida de significación .
La función de Langevin inversa L −1 ( x ) se define en el intervalo abierto (−1, 1). Para valores pequeños de x , se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor [4]
y por el aproximado de Padé
Dado que esta función no tiene forma cerrada, es útil tener aproximaciones válidas para valores arbitrarios de x . A. Cohen ha publicado una aproximación popular, válida en todo el rango (-1, 1): [5]
Esto tiene un error relativo máximo de 4,9% en las proximidades de x = ± 0,8 . Se puede lograr una mayor precisión utilizando la fórmula dada por R. Jedynak: [6]
válido para x ≥ 0 . El error relativo máximo para esta aproximación es 1.5% en la vecindad de x = 0.85. Se puede lograr una precisión aún mayor utilizando la fórmula dada por M. Kröger: [7]
El error relativo máximo para esta aproximación es inferior al 0,28%. R. Petrosyan informó una aproximación más precisa: [8]
válido para x ≥ 0 . El error relativo máximo de la fórmula anterior es inferior al 0,18%. [8]
La nueva aproximación dada por R. Jedynak, [9] es la aproximante mejor reportada en la complejidad 11:
válido para x ≥ 0 . Su error relativo máximo es inferior al 0,076%. [9]
El diagrama actual del estado de la técnica de las aproximaciones a la función de Langevin inversa presenta la siguiente figura. Es válido para las aproximaciones racionales / Padé, [7] [9]
Un artículo publicado recientemente por R. Jedynak, [10] proporciona una serie de aproximaciones óptimas a la función inversa de Langevin. La siguiente tabla informa los resultados con comportamientos asintóticos correctos. [7] [9] [10]
Comparación de errores relativos para las diferentes aproximaciones racionales óptimas, que se calcularon con restricciones (Tabla 1 del Apéndice 8) [10]
Complejidad | Aproximación óptima | Error relativo máximo [%] |
---|---|---|
3 | 13 | |
4 | 0,95 | |
5 | 0,56 | |
6 | 0,16 | |
7 | 0.082 |
También recientemente, Benítez y Montáns propusieron una eficiente aproximación de precisión cercana a la máquina, basada en interpolaciones de splines, [11] donde también se proporciona el código Matlab para generar la aproximación basada en spline y comparar muchas de las aproximaciones propuestas anteriormente en todo el dominio de funciones.
Límite de alta temperatura
Cuándo es decir, cuando es pequeña, la expresión de la magnetización puede aproximarse mediante la ley de Curie :
dónde es una constante. Uno puede notar que es el número efectivo de magnetons de Bohr.
Límite de campo alto
Cuándo , la función de Brillouin pasa a 1. La magnetización se satura con los momentos magnéticos completamente alineados con el campo aplicado:
Referencias
- ^ a b c d C. Kittel, Introducción a la física del estado sólido (8a ed.), páginas 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
- ^ Darby, MI (1967). "Tablas de la función de Brillouin y de la función relacionada para la magnetización espontánea". Br. J. Appl. Phys . 18 (10): 1415-1417. Código Bibliográfico : 1967BJAP ... 18.1415D . doi : 10.1088 / 0508-3443 / 18/10/307 .
- ^ Takacs, Jeno (2016). "Aproximaciones para Brillouin y su función inversa". COMPEL . 35 (6): 2095. doi : 10.1108 / COMPEL-06-2016-0278 .
- ^ Johal, AS; Dunstan, DJ (2007). "Funciones energéticas del caucho a partir de potenciales microscópicos" . Revista de Física Aplicada . 101 (8): 084917. Código Bibliográfico : 2007JAP ... 101h4917J . doi : 10.1063 / 1.2723870 .
- ^ Cohen, A. (1991). "Una aproximación de Padé a la función inversa de Langevin". Rheologica Acta . 30 (3): 270-273. doi : 10.1007 / BF00366640 . S2CID 95818330 .
- ^ Jedynak, R. (2015). "Aproximación de la función de Langevin inversa revisada" . Rheologica Acta . 54 (1): 29–39. doi : 10.1007 / s00397-014-0802-2 .
- ^ a b c d Kröger, M. (2015). "Aproximaciones simples, admisibles y precisas de las funciones inversas de Langevin y Brillouin, relevantes para fuertes deformaciones y flujos de polímeros" . J Mecánico de fluidos no Newton . 223 : 77–87. doi : 10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007 .
- ^ a b Petrosyan, R. (2016). "Aproximaciones mejoradas para algunos modelos de extensión de polímeros". Rheologica Acta . 56 : 21-26. arXiv : 1606.02519 . doi : 10.1007 / s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .
- ^ a b c d e Jedynak, R. (2017). "Nuevos hechos sobre la aproximación de la función de Langevin inversa". Revista de mecánica de fluidos no newtoniana . 249 : 8-25. doi : 10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003 .
- ^ a b c Jedynak, R. (2018). "Un estudio completo de los métodos matemáticos utilizados para aproximar la función inversa de Langevin". Matemática y Mecánica de Sólidos . 24 (7): 1–25. doi : 10.1177 / 1081286518811395 . S2CID 125370646 .
- ^ Benítez, JM; Montáns, FJ (2018). "Un procedimiento numérico simple y eficiente para calcular la función de Langevin inversa con alta precisión". Revista de mecánica de fluidos no newtoniana . 261 : 153-163. arXiv : 1806.08068 . doi : 10.1016 / j.jnnfm.2018.08.011 . S2CID 119029096 .