En el análisis complejo , la fracción continua de Gauss es una clase particular de fracciones continuas derivadas de funciones hipergeométricas . Fue una de las primeras fracciones continuas analíticas conocidas por las matemáticas, y puede usarse para representar varias funciones elementales importantes , así como algunas de las funciones trascendentales más complicadas .
Lambert publicó varios ejemplos de fracciones continuas en esta forma en 1768, y tanto Euler como Lagrange investigaron construcciones similares, [1] pero fue Carl Friedrich Gauss quien utilizó el álgebra descrita en la siguiente sección para deducir la forma general de esta fracción continua. en 1813. [2]
Aunque Gauss dio la forma de esta fracción continua, no dio una prueba de sus propiedades de convergencia. Bernhard Riemann [3] y LW Thomé [4] obtuvieron resultados parciales, pero la última palabra sobre la región en la que esta fracción continua converge no la dio hasta 1901 Edward Burr Van Vleck . [5]
Dejar ser una secuencia de funciones analíticas de modo que
para todos , donde cada es una constante.
Luego
Configuración
Entonces
Repetir este ad infinitum produce la expresión de fracción continua
En la fracción continua de Gauss, las funciones son funciones hipergeométricas de la forma , , y y las ecuaciones surgen como identidades entre funciones donde los parámetros difieren en cantidades enteras. Estas identidades se pueden probar de varias formas, por ejemplo, expandiendo la serie y comparando coeficientes, o tomando la derivada de varias formas y eliminándola de las ecuaciones generadas.
La serie 0 F 1
El caso más simple involucra
Empezando por la identidad
podemos tomar
donación
o
Esta expansión converge a la función meromórfica definida por la razón de las dos series convergentes (siempre que, por supuesto, a no sea cero ni un número entero negativo).
La serie 1 F 1
El siguiente caso involucra
por lo cual las dos identidades
se utilizan alternativamente.
Dejar
etc.
Esto da dónde , produciendo
o
similar
o
Desde , El establecimiento de una a 0 y la sustitución de b + 1 con b en la primera fracción continua da un caso especial simplificado:
La serie 2 F 1
El caso final involucra
Nuevamente, se utilizan dos identidades alternativamente.
Estas son esencialmente la misma identidad con una y b intercambiado.
Dejar
etc.
Esto da dónde , produciendo
o
Desde , El establecimiento de una a 0 y la sustitución de c + 1 con c da un caso especial simplificada de la fracción continua:
En esta sección, se excluyen los casos en los que uno o más de los parámetros es un entero negativo, ya que en estos casos o las series hipergeométricas están indefinidas o son polinomios por lo que termina la fracción continua. También se excluyen otras excepciones triviales.
En los casos y , las series convergen en todas partes, por lo que la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica . Las fracciones continuas del lado derecho convergerán uniformemente en cualquier conjunto cerrado y acotado que no contenga polos de esta función. [6]
En el caso , el radio de convergencia de la serie es 1 y la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica dentro de este círculo. Las fracciones continuas en el lado derecho convergerán a la función en todas partes dentro de este círculo.
Fuera del círculo, la fracción continua representa la continuación analítica de la función al plano complejo con el eje real positivo, desde +1 hasta el punto en el infinito eliminado. En la mayoría de los casos, +1 es un punto de ramificación y la línea desde +1 hasta infinito positivo es un corte de ramificación para esta función. La fracción continua converge a una función meromórfica en este dominio y converge uniformemente en cualquier subconjunto cerrado y acotado de este dominio que no contiene polos. [7]
La serie 0 F 1
Tenemos
entonces
Esta expansión particular se conoce como fracción continua de Lambert y se remonta a 1768. [8]
Se sigue fácilmente que
La expansión de tanh se puede utilizar para demostrar que e n es irracional para cada número entero n (lo que, lamentablemente, no es suficiente para demostrar que e es trascendental ). Lambert y Legendre utilizaron la expansión de tan para demostrar que π es irracional .
La función de Bessel puede ser escrito
de lo que se sigue
Estas fórmulas también son válidas para todo z complejo .
La serie 1 F 1
Desde ,
Con algo de manipulación, esto puede usarse para probar la simple representación de fracción continua de e ,
La función de error erf ( z ), dada por
también se puede calcular en términos de la función hipergeométrica de Kummer:
Aplicando la fracción continua de Gauss, se puede obtener una expansión útil válida para cada número complejo z : [9]
Se puede hacer un argumento similar para derivar expansiones de fracciones continuas para las integrales de Fresnel , para la función de Dawson y para la función gamma incompleta . Una versión más simple del argumento produce dos expansiones de fracciones continuas útiles de la función exponencial . [10]
La serie 2 F 1
De
Se muestra fácilmente que la expansión de la serie de Taylor de arctan z en una vecindad de cero está dada por
La fracción continua de Gauss se puede aplicar a esta identidad, produciendo la expansión
que converge a la rama principal de la función tangente inversa en el plano complejo de corte, con el corte extendiéndose a lo largo del eje imaginario desde i hasta el punto en el infinito, y desde - i hasta el punto en el infinito. [11]
Esta fracción continua en particular converge bastante rápido cuando z = 1, dando el valor π / 4 a siete lugares decimales por el noveno convergente. La serie correspondiente
converge mucho más lentamente, con más de un millón de términos necesarios para producir siete lugares decimales de precisión. [12]
Las variaciones de este argumento se pueden utilizar para producir expansiones de fracciones continuas para el logaritmo natural , la función arcsin y la serie binomial generalizada .