En física, la expansión de Laplace de potenciales que son directamente proporcionales a la inversa de la distancia (), como el potencial gravitacional de Newton o el potencial electrostático de Coulomb , los expresa en términos de los polinomios esféricos de Legendre. En los cálculos de la mecánica cuántica de átomos, la expansión se utiliza en la evaluación de integrales de la repulsión interelectrónica.
La expansión de Laplace es de hecho la expansión de la distancia inversa entre dos puntos. Deje que los puntos tengan vectores de posición y , entonces la expansión de Laplace es
Aquí tiene las coordenadas polares esféricas y posee con polinomios homogéneos de grado . Además, r < es min ( r , r ′) y r > es max ( r , r ′). La funciónes una función armónica esférica normalizada . La expansión toma una forma más simple cuando se escribe en términos de armónicos sólidos ,
La derivación de esta expansión es simple. Por la ley de los cosenos ,
Encontramos aquí la función generadora de los polinomios de Legendre :
Uso del teorema de la adición armónica esférica
da el resultado deseado.
Neumann [1] ha derivado una ecuación similar que permite la expresión deen coordenadas esferoidales prolongadas como una serie:
dónde y son funciones de Legendre asociadas del primer y segundo tipo, respectivamente, definidas de manera que sean reales para . En analogía con el caso de coordenadas esféricas anterior, los tamaños relativos de las coordenadas radiales son importantes, ya que y .