Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del 3-vector r , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace en la siguiente forma
donde l 2 es el cuadrado del operador de momento angular adimensional ,
Se sabe que los armónicos esféricos Y m l son funciones propias de l 2 :
La sustitución de Φ ( r ) = F ( r ) Y m l en la ecuación de Laplace da, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,
Las soluciones particulares de la ecuación total de Laplace son armónicos sólidos regulares :
y armónicos sólidos irregulares :
Los armónicos sólidos regulares corresponden a polinomios armónicos homogéneos , es decir, polinomios homogéneos que son soluciones a la ecuación de Laplace .
Normalización de Racah
La normalización de Racah (también conocida como semi-normalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones
(y análogamente para el armónico sólido irregular) en lugar de normalización a la unidad. Esto es conveniente porque en muchas aplicaciones el factor de normalización Racah aparece sin cambios en todas las derivaciones.
La traducción del armónico sólido regular da una expansión finita,
donde el coeficiente de Clebsch-Gordan viene dado por
La expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita,
con . La cantidad entre paréntesis puntiagudos es nuevamente un coeficiente de Clebsch-Gordan ,
Referencias
Los teoremas de la adición fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. Por ejemplo, vea las dos pruebas diferentes en:
- RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. A: Matemáticas. Gen. Vol. 10 , pág. 1261 (1977)
- MJ Caola, J. Phys. A: Matemáticas. Gen. Vol. 11 , pág. L23 (1978)
Mediante una combinación lineal simple de armónicos sólidos de ± m, estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones. Los armónicos sólidos regulares reales, expresados en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de valor real de ordenen x , y , z . La forma explícita de estos polinomios tiene cierta importancia. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . Ahora se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales.
Combinación lineal
Escribimos de acuerdo con la definición anterior.
con
dónde es un polinomio de Legendre de orden l . La fase dependiente de m se conoce como fase Condon-Shortley .
La siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales:
y para m = 0:
Dado que la transformación es por una matriz unitaria, la normalización de los armónicos sólidos reales y complejos es la misma.
parte dependiente de z
Al escribir u = cos θ, la m ésima derivada del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en u
con
Dado que z = r cosθ se deduce que esta derivada, multiplicada por una potencia apropiada de r , es un polinomio simple en z ,
( x , y ) -parte dependiente
Considere a continuación, recordando que x = r sinθcosφ y y = r sin θsin φ,
igualmente
Más
y
En total
Lista de funciones más bajas
Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta l = 5 inclusive . Aquí
Las funciones más bajas y están:
metro | Un m | B m |
---|
0 | | |
1 | | |
2 | | |
3 | | |
4 | | |
5 | | |