Prolate coordenadas esferoidales

Las tres superficies de coordenadas de coordenadas esferoidales alargadas. El esferoide alargado rojo (esfera estirada) corresponde a μ  = 1, y el hiperboloide azul de dos hojas corresponde a ν  = 45 °. El semiplano amarillo corresponde a φ  = −60 °, que se mide en relación con el eje x (resaltado en verde). La esfera negra representa el punto de intersección de las tres superficies, que tiene coordenadas cartesianas de aproximadamente (0.831, −1.439, 2.182).

Las coordenadas esferoidales proladas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de la rotación del sistema de coordenadas elípticas bidimensionales alrededor del eje focal de la elipse, es decir, el eje de simetría en el que se ubican los focos. La rotación sobre el otro eje produce coordenadas esferoidales achatadas . Las coordenadas esferoidales prolongadas también se pueden considerar como un caso límite de coordenadas elipsoidales en las que los dos ejes principales más pequeños tienen la misma longitud.

Las coordenadas esferoidales proladas se pueden utilizar para resolver varias ecuaciones diferenciales parciales en las que las condiciones de contorno coinciden con su simetría y forma, como la resolución de un campo producido por dos centros, que se toman como focos en el eje z . Un ejemplo es resolver la función de onda de un electrón que se mueve en el campo electromagnético de dos núcleos cargados positivamente , como en el ion molecular de hidrógeno , H ₂ ⁺ . Otro ejemplo es la resolución del campo eléctrico generado por dos pequeñas puntas de electrodos . Otros casos limitantes incluyen áreas generadas por un segmento de línea (μ  = 0) o una línea con un segmento faltante (ν = 0).

Definición

Prolate coordenadas esferoidales μ y ν para a  = 1. Las líneas de valores iguales de μ y ν se muestran en el plano xz , es decir, para φ  = 0. Las superficies de μ y ν constantes se obtienen por rotación alrededor del eje z , de modo que el diagrama es válido para cualquier plano que contenga el eje z : es decir, para cualquier φ .

La definición más común de coordenadas esferoidales prolate es${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

${\displaystyle x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\cosh \mu \cos \nu }$

donde es un número real no negativo y . El ángulo azimutal pertenece al intervalo .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [0,2\pi ]}$

La identidad trigonométrica

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las superficies de forma constante prolatan esferoides , ya que son elipses giradas alrededor del eje que une sus focos. Del mismo modo, la identidad trigonométrica hiperbólica${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las superficies de constante forman hiperboloides de revolución.${\displaystyle \nu }$

Las distancias desde los focos ubicados en son${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).}$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas elípticas son iguales${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

mientras que el factor de escala azimutal es

${\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}$

resultando en una métrica de

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left[(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\mu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\nu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu )d\varphi ^{2}\right].\end{aligned}}}$

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu \,d\varphi }$

y el laplaciano se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

Definición alternativa

En principio, una definición de coordenadas esferoidales prolate podría ser degenerada. En otras palabras, un solo conjunto de coordenadas podría corresponder a dos puntos en coordenadas cartesianas ; esto se ilustra aquí con dos esferas negras, una en cada hoja del hiperboloide y ubicada en ( x , y , ± z ). Sin embargo, ninguna de las definiciones presentadas aquí es degenerada.

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales prolongadas , donde y . Por tanto, las curvas de constante son esferoides prolatos, mientras que las curvas de constante son hiperboloides de revolución. La coordenada pertenece al intervalo [−1, 1], mientras que la coordenada debe ser mayor o igual a uno.${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

Las coordenadas y tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano, la suma de sus distancias a los focos es igual , mientras que su diferencia es igual . Por tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recordemos que y están situados en y , respectivamente.) Esto da las siguientes expresiones para , y :${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle z=-a}$${\displaystyle z=+a}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

A diferencia de las coordenadas esferoidales oblatas análogas , las coordenadas esferoidales alargadas (σ, τ, φ) no están degeneradas; En otras palabras, existe una correspondencia única y reversible entre ellos y las coordenadas cartesianas.

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$

Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas son${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

mientras que el factor de escala azimutal es ahora

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en

${\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[(1-\tau ^{2}){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Como es el caso de las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para producir soluciones en forma de armónicos esferoidales prolados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal prolate constante (Ver Smythe, 1968).

Referencias

Bibliografía

Sin convención de ángulos

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 661. Utiliza ξ ₁ = a cosh μ , ξ ₂ = sin ν y ξ ₃ = cos φ .
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 114. ISBN 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k para ξ _k .
• Smythe, WR (1968). Electricidad estática y dinámica (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 97. LCCN  67025285 . Utiliza las coordenadas ξ = cosh μ , η = sin ν y φ .

Convención de ángulos

• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 177 . LCCN  59014456 . Korn y Korn usan las coordenadas (μ, ν, φ), pero también introducen las coordenadas degeneradas (σ, τ, φ).
• Margenau H, Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. pp.  180 -182. LCCN  55010911 . Similar a Korn y Korn (1961), pero usa colatitude θ = 90 ° - ν en lugar de latitud ν.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Prolate esferoidales coordenadas (η, θ, ψ)". Manual de teoría de campo, que incluye sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2da edición corregida, 3ra edición impresa). Nueva York: Springer Verlag. págs. 28-30 (cuadro 1.06). ISBN 0-387-02732-7. Moon y Spencer usan la convención de colatitude θ = 90 ° - ν , y renombran φ como ψ .

Convención inusual

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos (Volumen 8 del Curso de Física Teórica ) (2ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Trata las coordenadas esferoidales prolate como un caso límite de las coordenadas elipsoidales generales . Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.

Enlaces externos

• MathWorld descripción de coordenadas esferoidales prolate