Campo de vector laplaciano

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En cálculo vectorial , un campo vectorial laplaciano es un campo vectorial que es irrotacional e incompresible . Si el campo se denota como v , entonces se describe mediante las siguientes ecuaciones diferenciales :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {v} &=\mathbf {0} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$

De la identidad del cálculo vectorial se sigue que${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {v} =0}$

es decir, que el campo v satisface la ecuación de Laplace .

Sin embargo, lo contrario no es cierto; no todos los campos vectoriales que satisfacen la ecuación de Laplace son campos vectoriales laplacianos, lo que puede ser un punto de confusión. Por ejemplo, el campo vectorial satisface la ecuación de Laplace, pero tiene una divergencia distinta de cero y una curvatura distinta de cero y no es un campo vectorial laplaciano.${\displaystyle {\bf {v}}=(xy,yz,zx)}$

Un campo vectorial laplaciano en el plano satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann : es holomórfico .

Dado que la curva de v es cero, se deduce que (cuando el dominio de definición está simplemente conectado) v se puede expresar como el gradiente de un potencial escalar (ver campo irrotacional ) φ  :

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi .\qquad \qquad (1)}$

Entonces, dado que la divergencia de v también es cero, de la ecuación (1) se sigue que

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \phi =0}$

que es equivalente a

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$

Por tanto, el potencial de un campo laplaciano satisface la ecuación de Laplace .

Ver también

• Flujo potencial
• Función armónica

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• v
• t
• mi