En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el holomorfo de un grupo es un grupo que contiene simultáneamente (copias de) el grupo y su grupo de automorfismo . El holomorfo proporciona ejemplos interesantes de grupos y permite tratar elementos de grupo y automorfismos de grupo en un contexto uniforme. En teoría de grupos, para un grupo, el holomorfo de denotado puede describirse como un producto semidirecto o como un grupo de permutación .
Hol ( G ) como producto semidirecto
Si es el grupo de automorfismo de luego
donde la multiplicación viene dada por
- [Eq. 1]
Normalmente, un producto semidirecto se da en la forma dónde y son grupos y es un homomorfismo y donde la multiplicación de elementos en el producto semidirecto se da como
que está bien definido , ya que y por lo tanto .
Para el holomorfo, y es el mapa de identidad , como tal suprimimos la escrituraexplícitamente en la multiplicación dada en [Eq. 1] arriba.
Por ejemplo,
- el grupo cíclico de orden 3
- dónde
- con la multiplicación dada por:
- donde los exponentes de se toman mod 3 y los de mod 2.
Observe, por ejemplo
y este grupo no es abeliano , como, así que eso es un grupo no abeliano de orden 6, que, según la teoría de grupos básica, debe ser isomorfo al grupo simétrico .
Hol ( G ) como grupo de permutación
Un grupo G actúa naturalmente sobre sí misma por la multiplicación izquierda y derecha, cada uno dando lugar a un homomorfismo de G en el grupo simétrico en el conjunto subyacente de G . Un homomorfismo se define como λ : G → Sym ( G ), λ ( g ) ( h ) = g · h . Es decir, g se asigna a la permutación obtenida al multiplicar por la izquierda cada elemento de G por g . De manera similar, un segundo homomorfismo ρ : G → Sym ( G ) se define por ρ ( g ) ( h ) = h · g −1 , donde la inversa asegura que ρ ( g · h ) ( k ) = ρ ( g ) ( ρ ( h ) ( k )). Estos se llaman homomorfismos la izquierda y la derecha representaciones regulares de G . Cada homomorfismo es inyectivo , un hecho al que se hace referencia como teorema de Cayley .
Por ejemplo, si G = C 3 = {1, x , x 2 } es un grupo cíclico de orden tres, entonces
- λ ( x ) (1) = x · 1 = x ,
- λ ( x ) ( x ) = x · x = x 2 , y
- λ ( x ) ( x 2 ) = x · x 2 = 1,
entonces λ ( x ) lleva (1, x , x 2 ) a ( x , x 2 , 1).
La imagen de λ es un subgrupo de Sym ( G ) isomorfo a G , y su normalizador en Sym ( G ) se define para ser la holomorph N de G . Para cada n en N y g en G , hay una h en G tal que n · λ ( g ) = λ ( h ) · n . Si un elemento n del holomorfo fija la identidad de G , entonces para 1 en G , ( n · λ ( g )) (1) = ( λ ( h ) · n ) (1), pero el lado izquierdo es n ( g ), y el lado derecho es h . En otras palabras, si n en N fija la identidad de G , entonces para cada g en G , n · λ ( g ) = λ ( n ( g )) · n . Si g , h son elementos de G , y n es un elemento de N fijación de la identidad de G , a continuación, la aplicación de esta igualdad dos veces para n · λ ( g ) · λ ( h ) y una vez a la expresión (equivalente) n · λ ( g · h ) da que n ( g ) · n ( h ) = n ( g · h ). Es decir, cada elemento de N que fija la identidad de G es de hecho un automorfismo de G . Tal n normaliza λ ( G ), y el único λ ( g ) que fija la identidad es λ (1). Configuración A que es el estabilizador de la identidad, el subgrupo generado por A y λ ( G ) es producto semidirecto con subgrupo normal λ ( G ) y complementar A . Dado que λ ( G ) es transitivo , el subgrupo generado por λ ( G ) y el estabilizador de punto A es todo N , lo que muestra que el holomorfo como grupo de permutación es isomorfo al holomorfo como producto semidirecto.
Es útil, pero no directamente relevante, que el centralizador de λ ( G ) en Sym ( G ) es ρ ( G ), su intersección es ρ (Z ( G )) = λ (Z ( G )), donde Z ( G ) es el centro de G , y que a es un complemento común a ambos de estos subgrupos normales de N .
Propiedades
- ρ ( G ) ∩ Aut ( G ) = 1
- Aut ( G ) normaliza ρ ( G ) de modo que canónicamente ρ ( G ) Aut ( G ) ≅ G ⋊ Aut ( G )
- ya que λ ( g ) ρ ( g ) ( h ) = ghg −1 (es el grupo de automorfismos internos de G. )
- K ≤ G es un subgrupo característico si y solo si λ ( K ) ⊴ Hol ( G )
Referencias
- Hall, Marshall, Jr. (1959), La teoría de grupos , Macmillan, MR 0103215
- Burnside, William (2004), Teoría de grupos de orden finito, 2ª ed. , Dover, pág. 87