Mapeo métrico difeomórfico de gran deformación

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El mapeo métrico difeomórfico de gran deformación ( LDDMM ) es un conjunto específico de algoritmos utilizados para el mapeo difeomórfico y la manipulación de imágenes densas basadas en el mapeo métrico difeomórfico dentro de la disciplina académica de la anatomía computacional , para distinguirse de su precursor basado en el mapeo difeomórfico . La distinción entre los dos es que los mapas métricos difeomórficos satisfacen la propiedad de que la longitud asociada a su flujo fuera de la identidad induce una métrica en el grupo de difeomorfismos , que a su vez induce una métrica en la órbita de formas y formas dentro del campo de Anatomía computacional. El estudio de formas y formas con la métrica del mapeo métrico difeomórfico se denomina difeomorfometría .

Un sistema de mapeo difeomórfico es un sistema diseñado para mapear, manipular y transferir información que se almacena en muchos tipos de imágenes médicas distribuidas espacialmente.

El mapeo diffeomórfico es la tecnología subyacente para mapear y analizar información medida en sistemas de coordenadas anatómicas humanas que se han medido a través de imágenes médicas ^{[ cita requerida ]}. El mapeo diffeomórfico es un término amplio que en realidad se refiere a varios algoritmos, procesos y métodos diferentes. Se adjunta a muchas operaciones y tiene muchas aplicaciones de análisis y visualización. El mapeo diffeomórfico se puede utilizar para relacionar varias fuentes de información que se indexan en función de la posición espacial como la variable de índice clave. Los difeomorfismos, por su estructura de raíz latina, conservan las transformaciones, que a su vez son diferenciables y, por lo tanto, suaves, lo que permite el cálculo de cantidades basadas en métricas como la longitud del arco y las áreas de superficie. La ubicación espacial y la extensión en los sistemas de coordenadas anatómicas humanas se pueden registrar a través de una variedad de modalidades de imágenes médicas, generalmente denominadas imágenes médicas multimodales, que proporcionan cantidades escalares o vectoriales en cada ubicación espacial.Los ejemplos son escalaresImágenes de resonancia magnética T1 o T2 , o como matrices de tensor de difusión 3x3, imágenes por resonancia magnética de difusión e imágenes ponderadas por difusión , hasta densidades escalares asociadas a la tomografía computarizada (TC), o imágenes funcionales como datos temporales de imágenes de resonancia magnética funcional y densidades escalares como el positrón tomografía de emisión (PET) .

La anatomía computacional es una subdisciplina dentro del campo más amplio de la neuroinformática dentro de la bioinformática y las imágenes médicas . El primer algoritmo para el mapeo de imágenes densas a través del mapeo métrico difeomórfico fue el LDDMM de Beg ^{[1] [2]} para volúmenes y la coincidencia de hitos de Joshi para conjuntos de puntos con correspondencia, ^{[3] [4]} con algoritmos LDDMM ahora disponibles para calcular mapas métricos difeomórficos entre no -hitos correspondientes ^[5] y coincidencia de puntos de referencia intrínsecos a colectores esféricos, ^[6] curvas, ^[7] corrientes y superficies, ^{[8] [9] [10]} tensores, ^[11]varifolds, ^[12] y series de tiempo. ^{[13] [14] [15]} El término LDDMM se estableció por primera vez como parte de la Red de Investigación en Informática Biomédica respaldada por los Institutos Nacionales de Salud . ^[dieciséis]

En un sentido más general, el mapeo difeomórfico es cualquier solución que registra o construye correspondencias entre sistemas de coordenadas densos en imágenes médicas al asegurar que las soluciones sean difeomórficas. Ahora hay muchos códigos organizados en torno al registro difeomórfico ^[17], incluidos ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[20] StationaryLDDMM, ^[21] FastLDDMM, ^{[22] [23]} como ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

La distinción entre el mapeo métrico difeomórfico que forma la base del LDDMM y los primeros métodos de mapeo difeomórfico es la introducción de un principio de Hamilton de acción mínima en el que se seleccionan grandes deformaciones de la longitud más corta correspondiente a los flujos geodésicos. Esta importante distinción surge de la formulación original de la métrica de Riemann correspondiente a la invariancia a la derecha. Las longitudes de estas geodésicas dan la métrica en la estructura espacial métrica de la anatomía humana. Las formulaciones no geodésicas de la cartografía difeomórfica en general no corresponden a ninguna formulación métrica.

Historia del desarrollo

La cartografía difeomórfica La información tridimensional a través de los sistemas de coordenadas es fundamental para la obtención de imágenes médicas de alta resolución y el área de la neuroinformática dentro del campo emergente de la bioinformática . Mapeo difeomórfico Los sistemas de coordenadas tridimensionales medidos a través de imágenes densas de alta resolución tienen una larga historia en 3-D comenzando con la tomografía axial computarizada (exploración CAT) a principios de los 80 por el grupo de la Universidad de Pensilvania dirigido por Ruzena Bajcsy , ^[24] y posteriormente, la escuela Ulf Grenander en la Universidad de Brown con los experimentos HAND. ^{[25] [26]}En la década de los 90 existían varias soluciones para el registro de imágenes que se asociaban a linealizaciones de pequeña deformación y elasticidad no lineal. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}

El enfoque central del subcampo de la anatomía computacional (AC) dentro de las imágenes médicas es el mapeo de la información a través de los sistemas de coordenadas anatómicas en la escala morfómica de 1 milímetro . En CA, el mapeo de información densa medida dentro de sistemas de coordenadas basados en imágenes de resonancia magnética (MRI), como en el cerebro, se ha resuelto mediante la coincidencia inexacta de imágenes de MR 3D entre sí. Christensen, Rabbitt y Miller ^{[17] [32]} introdujeron más temprano el uso del mapeo difeomórfico a través de grandes flujos de deformación de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en análisis de imágenes e imágenes médicas ^.y Trouve. ^[33] La introducción de flujos, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en la dinámica de fluidos, explotan la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen el método Lagrangiano y Euleriano.ecuaciones de movimiento. Este modelo se vuelve más apropiado para estudios transversales en los que los cerebros o corazones no son necesariamente deformaciones de uno a otro. Los métodos basados ​​en la elasticidad energética lineal o no lineal que crece con la distancia del mapeo de identidad de la plantilla, no son apropiados para el estudio transversal. Más bien, en modelos basados ​​en flujos de difeomorfismos lagrangianos y eulerianos, la restricción se asocia a propiedades topológicas, como conjuntos abiertos que se conservan, coordenadas que no se cruzan implicando unicidad y existencia del mapeo inverso, y conjuntos conectados que permanecen conectados. El uso de métodos difeomórficos creció rápidamente para dominar el campo de los métodos de mapeo después del artículo original de Christensen, con métodos rápidos y simétricos disponibles. ^{[19] [34]}

Dichos métodos son poderosos porque introducen nociones de regularidad de las soluciones para que puedan diferenciarse y puedan calcularse las inversas locales. Las desventajas de estos métodos es que no había una propiedad de acción mínima global asociada que pudiera puntuar los flujos de energía mínima. Esto contrasta los movimientos geodésicos que son fundamentales para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos y los muchos problemas resueltos en Física a través del principio de mínima acción de Hamilton . En 1998, Dupuis, Grenander y Miller ^[35]estableció las condiciones para garantizar la existencia de soluciones para el emparejamiento de imágenes densas en el espacio de flujos de difeomorfismos. Estas condiciones requieren una acción que penalice la energía cinética medida mediante la norma de Sobolev en derivadas espaciales del flujo de campos vectoriales.

El código de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) que Faisal Beg derivó e implementó para su doctorado en la Universidad Johns Hopkins ^[36] desarrolló el código algorítmico más antiguo que resolvió flujos con puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias para el problema de coincidencia de imágenes densas sujeto a acción mínima. La anatomía computacional ahora tiene muchos códigos existentes organizados alrededor del registro difeomórfico ^[17] incluyendo ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[37] LDDMM, ^[2] LDDMM estacionario ^[21] como ejemplos de códigos computacionales usados ​​activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

Estos métodos de gran deformación se han extendido a puntos de referencia sin registro mediante coincidencia de medidas, ^[38] curvas, ^[39] superficies, ^{[40 ]} imágenes de vector denso ^[41] y tensor ^[42] , y orientación de eliminación de varifolds. ^[43]

El modelo de órbita de difeomorfismo en anatomía computacional

La forma deformable en Anatomía Computacional (AC) ^{[44] [45] [46] [47]} se estudia mediante el uso de mapas difeomórficos para establecer correspondencias entre coordenadas anatómicas en Imágenes Médicas. En este escenario, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como una deformación aleatoria de algún ejemplar, denominado plantilla , con el elemento del conjunto de imágenes observadas en el modelo de órbita aleatoria de CA para imágenes . La plantilla se asigna al objetivo definiendo un problema variacional en el que la plantilla se transforma mediante el difeomorfismo utilizado como un cambio de coordenadas para minimizar una condición de coincidencia de error al cuadrado entre la plantilla transformada y el objetivo.${\displaystyle I_{temp}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in Diff_{V}\}}$

Los difeomorfismos se generan a través de los flujos suaves , con , satisfaciendo la especificación de Lagrange y euleriano del campo de flujo asociado a la ecuación diferencial ordinaria,${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle \varphi \doteq \phi _{1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id}$,

con los campos vectoriales eulerianos determinando el flujo. Se garantiza que los campos vectoriales son diferenciables continuamente 1 vez al modelarlos para que estén en un espacio de Hilbert uniforme que admita una derivada continua 1. ^[48] La inversa está definida por el campo vectorial euleriano con flujo dado por${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ .}$

( Flujo de transporte inverso )

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales con componentes en deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[49] [50]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tiene derivadas débiles integrables al cuadrado triple. Por lo tanto, se integra sin problemas en funciones continuamente diferenciables de una sola vez. ^{[37] [50]} El grupo de difeomorfismo son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ .}$

( Grupo de difeomorfismo )

El problema variacional de la coincidencia de imágenes densas y la escasa coincidencia de puntos de referencia

Algoritmo LDDMM para la concordancia de imágenes densas

En CA, el espacio de los campos vectoriales se modela como un espacio de reproducción de Kernel Hilbert (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 que determina la norma donde la integral se calcula por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual . El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green, el inverso del operador, sea continuamente diferenciable en cada variable, lo que implica que los campos vectoriales soportan una derivada continua 1 ; ver ^[48] para conocer las condiciones necesarias sobre la norma para la existencia de soluciones.${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot vdx,\ v\in V\ ,}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

Los algoritmos originales de mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones (LDDMM) de Beg, Miller, Trouve, Younes ^[51] se derivaron tomando variaciones con respecto a la parametrización del campo vectorial del grupo, ya que están en espacios vectoriales. Beg resolvió la coincidencia de imágenes densas minimizando la acción integral de la energía cinética del flujo difeomórfico mientras minimizaba el término de coincidencia de punto final de acuerdo con${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

${\textstyle \min _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi ,\phi _{0}=id}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{R^{3}}|I\circ \phi _{1}^{-1}-J|^{2}dx}$

( Imágenes de problemas variables )

• Algoritmo iterativo de Beg para la concordancia de imágenes densas

Actualizar hasta la convergencia, cada iteración, con :${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}-\int _{R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1old}(y)-J\circ \phi _{t1}^{old}(y))\nabla (I\circ \phi _{t}^{-1old}(y))|D\phi _{t1}^{old}(y)|dy),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

( Beg-LDDMM-iteración )

Esto implica que el punto fijo en satisface ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$,

lo que a su vez implica que satisface la ecuación de conservación dada por la condición de coincidencia de punto final de acuerdo con

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^{[52] [53]}

Coincidencia de puntos de referencia registrados LDDMM

El problema de coincidencia de puntos de referencia tiene una correspondencia puntual que define la condición del punto final con las geodésicas dadas por el siguiente mínimo:

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

La figura muestra la coincidencia de imágenes densa de LDMM. La fila superior muestra el transporte de la imagen debajo del flujo ; la fila central muestra la secuencia de campos vectoriales t = 0,1 / 5,2 / 5,3 / 5,4 / 5,1; la fila inferior muestra la secuencia de cuadrículas debajo${\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}$${\displaystyle v_{t},}$${\displaystyle \phi _{t}.}$

• Algoritmo iterativo para la coincidencia de puntos de referencia

Joshi definió originalmente el problema de coincidencia de hitos registrados. ^[3] Actualizar hasta la convergencia, cada iteración, con :${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}+\sum _{i}K(\cdot ,\phi _{t}^{old}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{oldT}|_{\phi _{t}^{old}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}^{old}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

( Iteración de Landmark-LDDMM )

Esto implica que el punto fijo satisface

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

con

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Variaciones para la imagen densa de LDDMM y la coincidencia de puntos de referencia

El cálculo de variaciones se utilizó en Beg ^{[49] [53]} para derivar el algoritmo iterativo como una solución que cuando converge satisface las condiciones maximizadoras necesarias dadas por las condiciones necesarias para una variación de primer orden que requiere la variación del punto final con respecto a una variación de primer orden del campo vectorial. La derivada direccional calcula la derivada de Gateaux calculada en el artículo original de Beg ^[49] y. ^{[54] [55]}

Variación de primer orden del campo de flujo y vector para una imagen densa y una coincidencia de puntos de referencia

La variación de primer orden en los campos vectoriales requiere la variación de generaliza la perturbación de la matriz de la inversa a través de la entrega . Para expresar la variación en términos de , use la solución para el corchete de Lie dando${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle (\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )}$${\displaystyle \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }$${\displaystyle \delta v}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }}$

${\displaystyle \delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt}$

• Coincidencia de imágenes:

Tomando la derivada direccional de la condición del punto final de la imagen se obtiene${\displaystyle E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}$${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx}$

${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}$.

La sustitución da la condición necesaria para un óptimo:${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}}$.

• Coincidencia de puntos de referencia:

Tome la variación en los campos vectoriales de uso, la regla de la cadena para la perturbación da la primera variación${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}}$${\displaystyle \delta \phi \circ \phi }$

${\displaystyle \sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}$

Coincidencia de imágenes del tensor de difusión LDDMM

El emparejamiento LDDMM basado en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen como un campo de vector unitario definido por el primer vector propio.^[41] La acción de grupo se convierte en${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

donde eso denota la norma de error al cuadrado de la imagen.${\displaystyle \|\cdot \|}$

El emparejamiento LDDMM basado en la matriz tensorial completa ^[56] tiene vectores propios transformados por acción de grupo${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Problema de emparejamiento denso en el vector propio principal de DTI

El problema variacional que coincide con la imagen vectorial con el punto final${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

se convierte en

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

Problema de concordancia denso en DTI MATRIX

El problema variacional que coincide con: con el punto final ${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

con la norma de Frobenius, dando un problema variacional${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

${\displaystyle \min _{v:v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

( Coincidencia de tensor denso DTI )

LDDMM ODF

La imagen por difusión de alta resolución angular (HARDI) aborda la conocida limitación de DTI, es decir, DTI solo puede revelar una orientación de fibra dominante en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibra más complejas al reconstruir una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. La ODF es una función definida en una esfera unidad, . ^[57] Denote la raíz cuadrada ODF ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . La métrica define la distancia entre dos funciones como ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

donde es el producto escalar normal entre los puntos de la esfera debajo de la métrica. La plantilla y el objetivo se denotan , , indexadas través de la esfera unidad y el dominio de la imagen, con el objetivo de indexado de manera similar.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$

Defina el problema variacional asumiendo que se pueden generar dos volúmenes ODF de uno a otro a través de flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . La acción de grupo del difeomorfismo en la plantilla se da según , donde es el jacobiano de la ODF transformada afín y se define como${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$${\displaystyle (D\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

LDDMM de Hamilton para la concordancia de imágenes densas

Beg resolvió los primeros algoritmos LDDMM resolviendo el emparejamiento variacional tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[58] Otra solución de Vialard, ^[59] reparametriza el problema de optimización en términos del estado , por imagen , con la ecuación dinámica controlando el estado por el control dado en términos de la ecuación de advección según . El término de coincidencia de punto final da el problema variacional:${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{matrix}}}$

( Coincidencia de imágenes de estado advectivo )

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Hamiltonian Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text{Endpoint Condition}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1}-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Conserved Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _{t1}|\ ,\ \ t\in [0,1]\ .\\\end{cases}}}$

( Condición de coincidencia hamiltoniana )

Prueba de la dinámica hamiltoniana

La dinámica hamiltoniana con estado advectado y dinámica de control , con hamiltoniana extendida da el problema variacional ^[53]${\displaystyle q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}}$${\displaystyle {\dot {q}}=-\nabla q\cdot v}$${\displaystyle H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)}$

${\displaystyle \min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .}$

La primera variación da la condición en el campo vectorial de optimización , con la condición del punto final y la dinámica en los multiplicadores de Lagrange determinados por las condiciones de la derivada de Gatteux y el estado .${\displaystyle Av=-p\nabla q}$${\displaystyle p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}$${\displaystyle (-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0}$${\displaystyle (\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0}$

Software para mapeo difeomórfico

Las suites de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen lo siguiente:

• Deformetrica ^[60]
• HORMIGAS ^[18]
• DARTEL ^[61] Morfometría basada en vóxeles (VBM)
• DEMONIOS ^[62]
• LDDMM ^[2]
• EstacionarioLDDMM ^[21]

Software en la nube

• MRICloud ^[63]

Ver también

• Anatomía computacional # Coincidencia de imágenes densas en anatomía computacional
• Métrica de Riemann y soporte de Lie en anatomía computacional
• Modelo bayesiano de anatomía computacional

Referencias

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Lectura adicional

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