La simulación de grandes remolinos ( LES ) es un modelo matemático para la turbulencia utilizado en la dinámica de fluidos computacional . Fue propuesto inicialmente en 1963 por Joseph Smagorinsky para simular las corrientes de aire atmosféricas, [1] y fue explorado por primera vez por Deardorff (1970). [2] LES se aplica actualmente en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería, incluida la combustión, [3] acústica, [4] y simulaciones de la capa límite atmosférica. [5]
La simulación de flujos turbulentos mediante la resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes requiere resolver un rango muy amplio de escalas de tiempo y longitud, todas las cuales afectan el campo de flujo. Esta resolución se puede lograr con simulación numérica directa (DNS), pero el DNS es computacionalmente costoso y su costo prohíbe la simulación de sistemas prácticos de ingeniería con geometría compleja o configuraciones de flujo, como jets turbulentos, bombas, vehículos y trenes de aterrizaje.
La idea principal detrás de LES es reducir el costo computacional ignorando las escalas de longitud más pequeñas, que son las más costosas desde el punto de vista computacional de resolver, mediante el filtrado de paso bajo de las ecuaciones de Navier-Stokes . Dicho filtrado de paso bajo, que puede verse como un promedio temporal y espacial, elimina de manera efectiva la información a pequeña escala de la solución numérica. Sin embargo, esta información no es irrelevante y su efecto sobre el campo de flujo debe ser modelado, una tarea que es un área activa de investigación para problemas en los que las pequeñas escalas pueden jugar un papel importante, como los flujos cerca de la pared, [6 ] [7] flujos reactivos, [3] y flujos multifásicos. [8]
Definición y propiedades del filtro
Se puede aplicar un filtro LES a un campo espacial y temporaly realizar una operación de filtrado espacial, una operación de filtrado temporal o ambas. El campo filtrado, denotado con una barra, se define como: [9] [10]
dónde es el núcleo de convolución de filtro. Esto también se puede escribir como:
El núcleo del filtro tiene una escala de longitud de corte asociada y escala de tiempo de corte . Las escamas más pequeñas que estas se eliminan de. Usando la definición de filtro anterior, cualquier campo se puede dividir en una parte filtrada y subfiltrada (indicada con una prima), como
Es importante señalar que la operación de filtrado de simulación de remolinos grandes no satisface las propiedades de un operador de Reynolds .
Ecuaciones de gobierno filtradas
Las ecuaciones gobernantes de LES se obtienen filtrando las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el campo de flujo.. Existen diferencias entre las ecuaciones que gobiernan LES incompresible y comprimible, que llevan a la definición de una nueva operación de filtrado.
Flujo incompresible
Para el flujo incompresible, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes se filtran, dando como resultado la ecuación de continuidad incompresible filtrada,
y las ecuaciones filtradas de Navier-Stokes,
dónde es el campo de presión filtrado y es el tensor de tasa de deformación evaluado usando la velocidad filtrada. El término de advección filtrado no lineales la principal causa de dificultad en el modelado LES. Requiere conocimiento del campo de velocidad sin filtrar, que se desconoce, por lo que debe modelarse. El análisis que sigue ilustra la dificultad causada por la no linealidad, es decir, que provoca la interacción entre escalas grandes y pequeñas, evitando la separación de escalas.
El término de advección filtrado se puede dividir, siguiendo a Leonard (1974), [11] como:
dónde es el tensor de tensión residual, de modo que las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas se convierten en
con el tensor de tensión residual agrupando todos los términos no cerrados. Leonard descompuso este tensor de tensión como y proporcionó interpretaciones físicas para cada término. , el tensor de Leonard, representa interacciones entre grandes escalas, , el término similar al estrés de Reynolds, representa interacciones entre las escalas de subfiltros (SFS), y , el tensor de Clark, [12] representa interacciones entre escalas grandes y pequeñas. [11] Modelado del término no cerradoes la tarea de los modelos de escala de subred (SGS). Esto se complica por el hecho de que el tensor de tensión de la subcuadrícula debe tener en cuenta las interacciones entre todas las escalas, incluidas las escalas filtradas con escalas sin filtrar.
La ecuación de gobierno filtrada para un escalar pasivo , como fracción de mezcla o temperatura, se puede escribir como
dónde es el flujo difusivo de , y es el flujo del subfiltro para el escalar . El flujo difusivo filtrado no está cerrado, a menos que se asuma una forma particular para él, como un modelo de difusión de gradiente . se define de forma análoga a ,
y de manera similar se puede dividir en contribuciones de interacciones entre varias escalas. Este flujo de subfiltro también requiere un modelo de subfiltro.
Derivación
Usando la notación de Einstein , las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en coordenadas cartesianas son
El filtrado de la ecuación de la cantidad de movimiento da como resultado
Si asumimos que el filtrado y la diferenciación conmutan, entonces
Esta ecuación modela los cambios en el tiempo de las variables filtradas. . Dado que las variables sin filtrar no se conocen, es imposible calcular directamente . Sin embargo, la cantidades conocida. Se realiza una sustitución:
Dejar . El conjunto de ecuaciones resultante son las ecuaciones LES:
Ecuaciones de gobierno comprimibles
Para las ecuaciones que gobiernan el flujo compresible, se filtra cada ecuación, comenzando con la conservación de la masa. Esto da:
lo que da como resultado un término de subfiltro adicional. Sin embargo, es deseable evitar tener que modelar las escalas del subfiltro de la ecuación de conservación de masa. Por esta razón, Favre [13] propuso una operación de filtrado ponderada por densidad, denominada filtrado de Favre, definida para una cantidad arbitraria como:
que, en el límite de la incompresibilidad, se convierte en la operación de filtrado normal. Esto hace que la conservación de la ecuación de masa:
Este concepto se puede ampliar para escribir la ecuación de momento filtrada por Favre para el flujo compresible. Siguiendo a Vreman: [14]
dónde es el tensor de esfuerzo cortante, dado para un fluido newtoniano por:
y el término representa una contribución viscosa del subfiltro de la evaluación de la viscosidad utilizando la temperatura filtrada por Favre . El tensor de tensión de la subcuadrícula para el campo de momento filtrado por Favre está dado por
Por analogía, la descomposición de Leonard también se puede escribir para el tensor de tensión residual para un producto triple filtrado . El producto triple se puede reescribir utilizando el operador de filtrado Favre como, que es un término no cerrado (requiere conocimiento de los campos y , cuando solo los campos y son conocidos). Puede romperse de manera análoga a anterior, lo que da como resultado un tensor de tensión de subfiltro . Este término de subfiltro se puede dividir en contribuciones de tres tipos de interacciones: el tensor de Leondard, que representa interacciones entre escalas resueltas; el tensor de Clark, que representa interacciones entre escalas resueltas y no resueltas; y el tensor de Reynolds, que representa interacciones entre escalas no resueltas. [15]
Ecuación de energía cinética filtrada
Además de las ecuaciones de masa y momento filtradas, el filtrado de la ecuación de energía cinética puede proporcionar información adicional. El campo de energía cinética se puede filtrar para producir la energía cinética filtrada total:
y la energía cinética filtrada total se puede descomponer en dos términos: la energía cinética del campo de velocidad filtrado ,
y la energía cinética residual ,
tal que .
La ecuación de conservación para se puede obtener multiplicando la ecuación de transporte de momento filtrada por ceder:
dónde es la disipación de la energía cinética del campo de velocidad filtrado por el esfuerzo viscoso, y representa la disipación de energía cinética de la escala del subfiltro (SFS).
Los términos del lado izquierdo representan el transporte, y los términos del lado derecho son términos sumideros que disipan la energía cinética. [9]
La El término de disipación SFS es de particular interés, ya que representa la transferencia de energía de escalas grandes resueltas a escalas pequeñas no resueltas. De media,transfiere energía de escalas grandes a pequeñas. Sin embargo, instantáneamentepuede ser positivo o negativo, lo que significa que también puede actuar como un término fuente para, la energía cinética del campo de velocidad filtrado. La transferencia de energía de escalas no resueltas a resueltas se denomina retrodispersión (y de la misma manera, la transferencia de energía de escalas resueltas a escalas no resueltas se denomina dispersión directa ). [dieciséis]
Métodos numéricos para LES
La simulación de remolinos grandes implica la solución a las ecuaciones de gobierno filtradas discretas utilizando dinámica de fluidos computacional . LES resuelve escalas del tamaño del dominio hasta el tamaño del filtro y, como tal, debe resolverse una parte sustancial de las fluctuaciones turbulentas de alto número de ondas. Esto requiere esquemas numéricos de orden superior o una resolución de cuadrícula fina si se utilizan esquemas numéricos de orden inferior. El capítulo 13 de Pope [9] aborda la cuestión de cuán fina es una resolución de cuadrícula. es necesario para resolver un campo de velocidad filtrado . Ghosal [17] encontró que para esquemas de discretización de bajo orden, como los que se usan en los métodos de volumen finito, el error de truncamiento puede ser del mismo orden que las contribuciones de la escala del subfiltro, a menos que el ancho del filtro es considerablemente mayor que el espaciado de la cuadrícula . Si bien los esquemas de orden par tienen errores de truncamiento, no son disipativos, [18] y debido a que los modelos de escala de subfiltro son disipativos, los esquemas de orden par no afectarán las contribuciones del modelo de escala de subfiltro tan fuertemente como los esquemas de disipación.
Implementación de filtros
La operación de filtrado en la simulación de grandes remolinos puede ser implícita o explícita. El filtrado implícito reconoce que el modelo a escala del subfiltro se disipará de la misma manera que muchos esquemas numéricos. De esta manera, se puede suponer que la cuadrícula, o el esquema de discretización numérica, es el filtro de paso bajo LES. Si bien esto aprovecha al máximo la resolución de la cuadrícula y elimina el costo computacional de calcular un término de modelo de escala de subfiltro, es difícil determinar la forma del filtro LES que está asociado con algunos problemas numéricos. Además, el error de truncamiento también puede convertirse en un problema. [19]
En el filtrado explícito, se aplica un filtro LES a las ecuaciones discretizadas de Navier-Stokes, lo que proporciona una forma de filtro bien definida y reduce el error de truncamiento. Sin embargo, el filtrado explícito requiere una cuadrícula más fina que el filtrado implícito, y el costo computacional aumenta con. El capítulo 8 de Sagaut (2006) cubre los números LES con mayor detalle. [10]
Condiciones de contorno de grandes simulaciones de remolinos
Las condiciones de los límites de entrada afectan la precisión de LES de manera significativa, y el tratamiento de las condiciones de entrada para LES es un problema complicado. En teoría, una buena condición de contorno para LES debería contener las siguientes características: [20]
(1) proporcionar información precisa de las características del flujo, es decir, velocidad y turbulencia;
(2) satisfacer las ecuaciones de Navier-Stokes y otras físicas;
(3) ser fáciles de implementar y ajustar a diferentes casos.
Actualmente, los métodos para generar condiciones de entrada para LES se dividen ampliamente en dos categorías clasificadas por Tabor et al .: [21]
El primer método para generar entradas turbulentas es sintetizarlas según casos particulares, como las técnicas de Fourier, el principio de descomposición ortogonal (POD) y los métodos de vórtice. Las técnicas de síntesis intentan construir un campo turbulento en las entradas que tienen propiedades similares a las de la turbulencia y facilitan la especificación de parámetros de la turbulencia, como la energía cinética turbulenta y la tasa de disipación turbulenta. Además, las condiciones de entrada generadas mediante el uso de números aleatorios son computacionalmente económicas. Sin embargo, existe un serio inconveniente en el método. La turbulencia sintetizada no satisface la estructura física del flujo de fluido gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes. [20]
El segundo método implica un cálculo precursor separado para generar una base de datos turbulenta que se puede introducir en el cálculo principal en las entradas. La base de datos (a veces denominada 'biblioteca') se puede generar de varias formas, como dominios cíclicos, biblioteca preparada previamente y mapeo interno. Sin embargo, el método de generar flujos turbulentos mediante simulaciones de precursores requiere una gran capacidad de cálculo.
Los investigadores que examinan la aplicación de varios tipos de cálculos sintéticos y precursores han descubierto que cuanto más realista es la turbulencia de entrada, más precisa LES predice los resultados. [20]
Modelado de escalas no resueltas
Para discutir el modelado de escalas no resueltas, primero se deben clasificar las escalas no resueltas. Se dividen en dos grupos: escalas de subfiltro resueltas (SFS) y escalas de subcuadrícula (SGS).
Las escalas de subfiltro resueltas representan las escalas con números de onda mayores que el número de onda de corte. , pero cuyos efectos son amortiguados por el filtro. Las escalas de subfiltro resueltas solo existen cuando se utilizan filtros no locales en el espacio de onda (como una caja o un filtro gaussiano ). Estas escalas de subfiltros resueltas deben modelarse mediante la reconstrucción de filtros.
Las escalas de subcuadrícula son escalas que son más pequeñas que el ancho del filtro de corte. . La forma del modelo SGS depende de la implementación del filtro. Como se mencionó en la sección Métodos numéricos para LES , si se considera LES implícito, no se implementa ningún modelo SGS y se supone que los efectos numéricos de la discretización imitan la física de los movimientos turbulentos no resueltos.
Modelos a escala de subcuadrícula
Sin una descripción universalmente válida de la turbulencia, la información empírica debe utilizarse al construir y aplicar modelos SGS, complementada con restricciones físicas fundamentales como la invariancia galileana [9] . [22] Existen dos clases de modelos SGS; la primera clase son modelos funcionales y la segunda clase son modelos estructurales . Algunos modelos pueden clasificarse como ambos.
Modelos funcionales (viscosidad parásita)
Los modelos funcionales son más simples que los modelos estructurales, y se enfocan solo en disipar energía a una velocidad que sea físicamente correcta. Estos se basan en un enfoque de viscosidad de remolino artificial, donde los efectos de la turbulencia se agrupan en una viscosidad turbulenta. El enfoque trata la disipación de energía cinética a escalas de sub-cuadrícula como análoga a la difusión molecular. En este caso, la parte desviadora de se modela como:
dónde es la viscosidad turbulenta de remolino y es el tensor de velocidad de deformación.
Según el análisis dimensional, la viscosidad de los remolinos debe tener unidades de . La mayoría de los modelos SGS de viscosidad parásita modelan la viscosidad parásita como el producto de una escala de longitud característica y una escala de velocidad característica.
Modelo de Smagorinsky-Lilly
El primer modelo SGS desarrollado fue el modelo Smagorinsky-Lilly SGS, que fue desarrollado por Smagorinsky [1] y utilizado en la primera simulación LES por Deardorff. [2] Modela la viscosidad parásita como:
dónde es el tamaño de la cuadrícula y es una constante.
Este método asume que la producción y disipación de energía de las pequeñas escalas están en equilibrio, es decir, .
El modelo dinámico (Germano et. Al y más allá)
Germano y col. [23] identificó una serie de estudios que utilizaron el modelo de Smagorinsky en los que cada uno encontró valores diferentes para la constante de Smagorinskypara diferentes configuraciones de flujo. En un intento por formular un enfoque más universal para los modelos SGS, Germano et al. propuso un modelo dinámico de Smagorinsky, que utilizaba dos filtros: un filtro LES de cuadrícula, denotado, y un filtro LES de prueba, denotado para cualquier campo turbulento . El filtro de prueba es de mayor tamaño que el filtro de cuadrícula y agrega un suavizado adicional del campo de turbulencia sobre los campos ya suavizados representados por el LES. La aplicación del filtro de prueba a las ecuaciones LES (que se obtienen aplicando el filtro de "cuadrícula" a las ecuaciones de Navier-Stokes) da como resultado un nuevo conjunto de ecuaciones que son idénticas en forma pero con la tensión SGS reemplazado por . Germano {\ it et} al. señaló que a pesar de que ninguno de los dos ni puede calcularse exactamente debido a la presencia de escalas no resueltas, existe una relación exacta que conecta estos dos tensores. Esta relación, conocida como la identidad germano, es Aquí se puede evaluar explícitamente ya que solo involucra las velocidades filtradas y la operación de filtrado de prueba. La importancia de la identidad es que si se asume que la turbulencia es auto-similar de modo que la tensión SGS en la red y los niveles de prueba tienen la misma forma y , entonces la identidad germano proporciona una ecuación a partir de la cual el coeficiente de Smagorinsky (que ya no es una 'constante') se puede determinar potencialmente. [Inherente al procedimiento es la suposición de que el coeficientees invariante de escala (ver revisión [24] )]. Para hacer esto, se introdujeron dos pasos adicionales en la formulación original. Primero, uno asumió que aunque era en principio variable, la variación era lo suficientemente lenta como para que se pudiera mover fuera de la operación de filtrado . Segundo, desde era un escalar, la identidad de Germano se contrajo con un tensor de segundo rango (se eligió la tasa del tensor de deformación) para convertirlo en una ecuación escalar a partir de la cual podría ser determinado. Lilly [25] encontró un enfoque menos arbitrario y por lo tanto más satisfactorio para obtener C a partir de la identidad del tensor. Señaló que la identidad germánica requería la satisfacción de nueve ecuaciones en cada punto del espacio (de las cuales solo cinco son independientes) para una sola cantidad.. El problema de obtenerpor lo tanto, estaba sobredeterminado. Propuso, por tanto, queser determinado usando un ajuste de mínimos cuadrados minimizando los residuos. Esto resulta en
Aquí
y por brevedad , Los intentos iniciales de implementar el modelo en simulaciones LES resultaron infructuosos. Primero, el coeficiente calculado no "variaba lentamente" como se suponía y variaba tanto como cualquier otro campo turbulento. En segundo lugar, el calculadopuede ser tanto positivo como negativo. Este último hecho en sí mismo no debe considerarse una deficiencia, ya que las pruebas a priori que utilizan campos DNS filtrados han demostrado que la tasa de disipación de la subred localen un campo turbulento es casi tan probable que sea negativo como positivo, aunque la integral sobre el dominio del fluido es siempre positiva, lo que representa una disipación neta de energía a gran escala. Una ligera preponderancia de valores positivos en oposición a la positividad estricta de la viscosidad parásita da como resultado la disipación neta observada. Esta llamada "retrodispersión" de energía de escalas pequeñas a grandes corresponde de hecho a valores negativos de C en el modelo de Smagorinsky. Sin embargo, se encontró que la formulación de Germano-Lilly no daba como resultado cálculos estables. Se adoptó una medida ad hoc promediando el numerador y el denominador en direcciones homogéneas (donde existen tales direcciones en el flujo)
Cuando el promedio involucró una muestra estadística lo suficientemente grande como para fue positivo (o al menos en raras ocasiones negativo) se pudieron realizar cálculos estables. El simple hecho de establecer los valores negativos en cero (un procedimiento llamado "recorte") con o sin el promedio también resultó en cálculos estables. Meneveau propuso [26] un promedio sobre las trayectorias de los fluidos lagrangianos con una "memoria" que decae exponencialmente. Esto se puede aplicar a problemas que carecen de direcciones homogéneas y puede ser estable si el tiempo efectivo durante el cual se realiza el promedio es lo suficientemente largo y, sin embargo, no tanto como para suavizar las heterogeneidades espaciales de interés.
La modificación de Lilly del método Germano seguida de un promedio estadístico o eliminación sintética de regiones de viscosidad negativa parece ad hoc, incluso si se pudiera hacer que "funcionara". Ghosal et al. Sugirieron una formulación alternativa del procedimiento de minimización de mínimos cuadrados conocido como "Modelo de localización dinámica" (DLM). [27] En este enfoque, primero se define una cantidad
con los tensores y reemplazado por el modelo SGS apropiado. Este tensor luego representa la cantidad por la cual el modelo de subcuadrícula no respeta la identidad germano en cada ubicación espacial. En el enfoque de Lilly, luego se saca del operador del sombrero
haciendo una función algebraica de que luego se determina al exigir que considerados en función de C tienen el menor valor posible. Sin embargo, dado que el así obtenido resulta ser tan variable como cualquier otra cantidad fluctuante en turbulencia, el supuesto original de la constancia de no puede justificarse a posteriori. En el enfoque DLM se evita esta inconsistencia al no invocar el paso de eliminar C de la operación de filtrado de prueba. En cambio, se define un error global en todo el dominio de flujo por la cantidad
donde la integral varía sobre todo el volumen de fluido. Este error global es entonces un funcional de la función espacialmente variable (aquí el instante de tiempo, , es fijo y, por lo tanto, aparece solo como un parámetro) que se determina para minimizar esta función. La solución a este problema variacional es que debe satisfacer una ecuación integral de Fredholm del segundo tipo
donde las funciones y se definen en términos de los campos resueltos y, por lo tanto, se conocen en cada paso de tiempo y los rangos integrales en todo el dominio del fluido. La ecuación integral se resuelve numéricamente mediante un procedimiento de iteración y se encontró que la convergencia es generalmente rápida si se usa con un esquema de preacondicionamiento. Aunque este enfoque variacional elimina una inconsistencia inherente en el enfoque de Lilly, elobtenida de la ecuación integral todavía mostraba la inestabilidad asociada con viscosidades negativas. Esto se puede resolver insistiendo en que ser minimizado sujeto a la restricción . Esto conduce a una ecuación para eso es no lineal
Aquí el sufijo + indica la "parte positiva de", es decir, . Aunque esto parece superficialmente como un "recorte", no es un esquema ad hoc sino una solución auténtica del problema de variacional restringido. Se encontró que este modelo DLM (+) era estable y produjo excelentes resultados para turbulencias isotrópicas forzadas y en descomposición, flujos de canales y una variedad de otras geometrías más complejas. Si un flujo tiene direcciones homogéneas (digamos las direcciones xyz) entonces se puede introducir el ansatz. El enfoque variacional produce inmediatamente el resultado de Lilly con promedios sobre direcciones homogéneas sin necesidad de modificaciones ad hoc de un resultado anterior.
Una deficiencia del modelo DLM (+) era que no describía la retrodispersión, que se sabe que es una "cosa" real del análisis de datos DNS. Se desarrollaron dos enfoques para abordar esto. En un enfoque de Carati et al. [28] una fuerza fluctuante con amplitud determinada por el teorema de fluctuación-disipación se agrega en analogía a la teoría de Landau de la hidrodinámica fluctuante. En el segundo enfoque, se observa que cualquier energía "retrodispersada" aparece en las escalas resueltas solo a expensas de la energía en las escalas de subcuadrícula. El DLM se puede modificar de una manera sencilla para tener en cuenta este hecho físico para permitir la retrodispersión y, al mismo tiempo, ser inherentemente estable. Esta versión de la ecuación k del DLM, DLM (k) reemplaza en el modelo de viscosidad de remolinos de Smagorinsky por como una escala de velocidad apropiada. El procedimiento para determinar sigue siendo idéntico a la versión "sin restricciones" excepto que los tensores , donde la energía cinética de la escala de subprueba K está relacionada con la energía cinética de la escala de subcuadrícula k por (sigue tomando el rastro de la identidad germano). Para determinar k usamos ahora una ecuación de transporte
dónde es la viscosidad cinemática y son coeficientes positivos que representan la disipación y difusión de energía cinética, respectivamente. Estos se pueden determinar siguiendo el procedimiento dinámico con minimización restringida como en DLM (+). Este enfoque, aunque más costoso de implementar que el DLM (+), resultó ser estable y resultó en una buena concordancia con los datos experimentales para una variedad de flujos probados. Además, es matemáticamente imposible que el DLM (k) dé como resultado un cálculo inestable ya que la suma de las energías SGS y de gran escala no aumenta por construcción. Ambos enfoques que incorporan retrodispersión funcionan bien. Producen modelos que son ligeramente menos disipativos con un rendimiento algo mejorado sobre el DLM (+). El modelo DLM (k) además produce la energía cinética de la subcuadrícula, que puede ser una cantidad física de interés. Estas mejoras se logran a un costo algo mayor en la implementación del modelo.
El modelo dinámico se originó en el programa de verano de 1990 del Centro de Investigación de Turbulencias (CTR) de la Universidad de Stanford . Una serie de seminarios "CTR-Tea" celebraron el 30 aniversario de este importante hito en el modelado de turbulencias.
Modelos estructurales
Ver también
- Simulación numérica directa
- Mecánica de fluidos
- Invarianza galileana : una propiedad importante de ciertos tipos de filtros
- Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds
- Turbulencia
Otras lecturas
- Heus, T .; van Heerwaarden, CC; Jonker, HJJ; Pier Siebesma, A .; Axelsen, S. « Formulación de la simulación holandesa de gran remolino atmosférico (DALES) y descripción general de sus aplicaciones » Desarrollo de modelos geocientíficos , 3, 2, 30-09-2010, pág. 415–444. DOI : 10.5194 / gmd-3-415-2010 . ISSN : 1991-9603.
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