En estadística : la teoría asintótica , o teoría de muestras grandes , es un marco para evaluar las propiedades de los estimadores y las pruebas estadísticas . Dentro de este marco, a menudo se supone que el tamaño de la muestra n puede crecer indefinidamente; las propiedades de los estimadores y las pruebas se evalúan luego por debajo del límite de n → ∞ . En la práctica, una evaluación límite se considera aproximadamente válida también para tamaños de muestra finitos grandes. [1]
Descripción general
La mayoría de los problemas estadísticos comienzan con un conjunto de datos de tamaño n . La teoría asintótica procede asumiendo que es posible (en principio) seguir recopilando datos adicionales, por lo que el tamaño de la muestra crece infinitamente, es decir, n → ∞ . Bajo el supuesto, se pueden obtener muchos resultados que no están disponibles para muestras de tamaño finito. Un ejemplo es la ley débil de los grandes números . La ley establece que para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) X 1 , X 2 , ... , si se extrae un valor de cada variable aleatoria y el promedio de los primeros n valores se calcula como X n , entonces el X n convergen en probabilidad a la media poblacional E [ X i ] cuando n → ∞ . [2]
En la teoría asintótica, el enfoque estándar es n → ∞ . Para algunos modelos estadísticos , se pueden utilizar enfoques ligeramente diferentes de asintóticos. Por ejemplo, con datos de panel , comúnmente se asume que una dimensión en los datos permanece fija, mientras que la otra dimensión crece: T = constante y N → ∞ , o viceversa. [2]
Además del enfoque estándar de la asintótica, existen otros enfoques alternativos:
- Dentro del marco de normalidad asintótica local , se supone que el valor del "parámetro verdadero" en el modelo varía ligeramente con n , de modo que el modelo n -ésimo corresponde a θ n = θ + h / √ n . Este enfoque nos permite estudiar la regularidad de los estimadores .
- Cuando se estudian las pruebas estadísticas por su poder para distinguir de las alternativas cercanas a la hipótesis nula, se hace dentro del marco de las llamadas "alternativas locales": la hipótesis nula es H 0 : θ = θ 0 y la alternativa es H 1 : θ = θ 0 + h / √ n . Este enfoque es especialmente popular para las pruebas de raíz unitaria .
- Hay modelos en los que la dimensión del espacio de parámetros Θ n lentamente se expande con n , lo que refleja el hecho de que los más observaciones existen, los efectos más estructurales se pueden incorporar factible en el modelo.
- En la estimación de la densidad del kernel y la regresión del kernel , se asume un parámetro adicional: el ancho de banda h . En esos modelos, normalmente se considera que h → 0 como n → ∞ . Sin embargo, la tasa de convergencia debe elegirse con cuidado, generalmente h ∝ n −1/5 .
En muchos casos, se pueden obtener resultados muy precisos para muestras finitas mediante métodos numéricos (es decir, computadoras); incluso en tales casos, sin embargo, el análisis asintótico puede ser útil. Small (2010 , §1.4) señaló este punto de la siguiente manera.
Un objetivo principal del análisis asintótico es obtener una comprensión cualitativa más profunda de las herramientas cuantitativas . Las conclusiones de un análisis asintótico a menudo complementan las conclusiones que pueden obtenerse mediante métodos numéricos.
Modos de convergencia de variables aleatorias
Propiedades asintóticas
Estimadores
Consistencia
Se dice que una secuencia de estimaciones es coherente si converge en probabilidad con el valor real del parámetro que se está estimando:
Es decir, hablando aproximadamente con una cantidad infinita de datos, el estimador (la fórmula para generar las estimaciones) daría casi con seguridad el resultado correcto para el parámetro que se está estimando. [2]
Distribución asintótica
Si es posible encontrar secuencias de constantes no aleatorias { a n } , { b n } (posiblemente dependiendo del valor de θ 0 ), y una distribución no degenerada G tal que
luego la secuencia de estimadores se dice que tiene la distribución asintótica G .
Muy a menudo, los estimadores que se encuentran en la práctica son asintóticamente normales , lo que significa que su distribución asintótica es la distribución normal , con a n = θ 0 , b n = √ n y G = N (0, V ) :
Regiones de confianza asintóticas
Teoremas asintóticos
Ver también
Referencias
Bibliografía
- Balakrishnan, N .; Ibragimov, IAVB; Nevzorov, VB, eds. (2001), Métodos asintóticos en probabilidad y estadística con aplicaciones , Birkhäuser , ISBN 9781461202097
- Borovkov, AA ; Borovkov, KA (2010), Análisis asintótico de paseos aleatorios , Cambridge University Press
- Buldygin, VV; Solntsev, S. (1997), Comportamiento asintótico de sumas de variables aleatorias transformadas linealmente , Springer, ISBN 9789401155687
- Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics (2a ed.), Springer
- Dawson, D .; Kulik, R .; Ould Haye, M .; Szyszkowicz, B .; Zhao, Y., eds. (2015), Leyes y métodos asintóticos en estocásticos , Springer-Verlag
- Höpfner, R. (2014), Estadística asintótica , Walter de Gruyter
- Lin'kov, Yu. N. (2001), Métodos estadísticos asintóticos para procesos estocásticos , American Mathematical Society
- Oliveira, PE (2012), Asintóticos para variables aleatorias asociadas , Springer
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- Sen, PK; Cantante, JM; Pedroso de Lima, AC (2009), De la muestra finita a los métodos asintóticos en estadística , Cambridge University Press
- Shiryaev, AN; Spokoiny, VG (2000), Experimentos y decisiones estadísticos: teoría asintótica , World Scientific
- Small, CG (2010), Expansiones y asintóticas para estadística , Chapman & Hall
- van der Vaart, AW (1998), Estadísticas asintóticas , Cambridge University Press